Llei del paral·lelogram: diferència entre les revisions

cap resum d'edició
Cap resum de modificació
[[Imatge: Color parallelogram.svg|right|thumb|Un [[paral]]. Els costats d'aquest estan mostrats en color blau i les diagonals en vermell.]]
AEn [[matemàticamatemàtiques]], la forma més simple de la ''' llei del paral·lelogram ''' partpertany dea la l'[[geometria]] elemental. Aquesta postula que la suma dels quadrats de les longituds dels quatre costats d'un [[paral·lelogram]] és igual a la suma de les longituds de les dues [[diagonal|diagonals]] d'aquestdel mateix. Utilitzant la notació del paral·lelogram mostrat en la figura de la dreta, es pot escriure matemàticament com:
 
: <math>(AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2.\,</math>
 
En el cas que el paral sigui un [[rectangle]], les dues diagonals són iguals i la llei es redueix al [[teorema de Pitàgores]]. Però en general, no es compleix que el quadrat la d'una diagonal sigui igual a la suma dels quadrats de dos costats.
 
== Llei del paral per a espais amb producte intern ==
 
A [[Espai prehilbertià|espais proveïts de producte escalar]], la definició de la llei del paral·lelogram es redueix a la identitat algebraica
 
:<math>2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2</math>
 
on
 
== Espais vectorials normats que satisfan la llei del paral·lelogram ==
 
La majoria de [[Espai vectorial normat|espais vectorials normats]] [[nombre real|reals]] i [[nombre complex|complexos]] no tenen [[producte intern]], però tots els espais vectorials normats tenen norma (per definició), i per tant es potpoden avaluar les expressions a banda i banda del "=" ade la identitat anterior. Un fet notable és que si la identitat anterior es manté, aleshores la norma ha de sorgir de la manera habitual d'algun producte intern. A més, el producte intern que es genera mitjançant la norma és únic, com a conseqüència de la [[identitat de polarització]], en el cas real, aquest ve donat per donada per
 
:<math>\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4},\,</math>
:<math>{\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\over 2} \ \ \rm{\acute{o}} \ \ {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\over 2}.\,</math>
 
En el cas complex, aquest ésve donat per
 
:<math>\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}+i{\|ix-y\|^2-\|ix+y\|^2\over 4}.</math>
163.527

modificacions