Revisió del 08:30, 20 maig 2010 modifica Mcapdevila (discussió \| contribucions) 185.469 edits Pàgina nova, amb el contingut: «A matemàtiques, l '''' desigualtat de Jensen ''' per funcions convexes relaciona el valor que assigna a una integral amb la integral d'a...».		Revisió del 08:33, 20 maig 2010 modifica desfés Mcapdevila (discussió \| contribucions) 185.469 edits Cap resum de modificació Edició següent →
Línia 8: Donada una funció convexa φ, nombres '' x '' <sub> 1 </sub>, '' x '' <sub> 2 </sub>, ..., '' x '' <sub> '' n '' </sub> en el seu domini i pesos positius '' a <sub> i </sub> '' es compleix que: : <math> \~~Varphi~~varphi \left (\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \li \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i}. </Math> Si els pesos '' a <sub> i </sub> '' són tots iguals a 1, llavors : <math> \~~Varphi~~varphi \left (\frac{\sum x_i}{n}\right) \li \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}. </Math> Per exemple, com la funció-log ('' x '') és convexa, la desigualtat anterior es pot concretar en Línia 21: Sigui (Ω, '' A '', '' μ '') un [[espai mètric]] tal que μ (Ω) = 1. Si '' g '' és una funció real μ-[[funció integrable\|integrable]] i φ una funció convexa en l'eix real, llavors: : <math> \~~Varphi~~varphi \left (\int_ \Omega g \, d \mu \right) \li \int_ \Omega \varphi \circ g \, d \mu. </Math> En anàlisi real, pot ser necessària una estimació de : <math> \~~Varphi~~varphi \left (\int_a^bf (x) \, dx \right) </math> on <math> a, b </math> són nombres reals i <math> f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> és una funció real integrable. Llavors, reescalat, es pot aplicar la desigualtat de Jensen per obtenir : <math> \~~Varphi~~varphi \left (\int_a^bf (x) \, dx \right) \li \int_a^b \varphi ((ba) f (x)) \frac{1}{bany}\, dx . </Math> La desigualtat de Jensen, usant la notació habitual en teoria de la [[probabilitat]], pot reescriure així: : <math> \~~Varphi~~varphi \left (\mathbb{E}\ {X \}\right) \leq \mathbb{E}\ {\varphi (X) \}. </Math> Línia 46: '' g '' és una funció real qualsevol i φ és una funció convexa sobre el rang de '' g '', llavors : <math> \~~Varphi~~varphi \left (\int_{- \infty}^\infty g (x) f (x) \, dx \right) \li \int_{- \infty}^\infty \varphi (g ( x)) f (x) \, dx. </Math> En cas que '' g '' sigui la funció identitat, s'obté : <math> \~~Varphi~~varphi \left (\int_{- \infty}^\infty x \, f (x) \, dx \right) \li \int_{- \infty}^\infty \varphi (x) \, f (x) \, dx. </math> === Física estadística ===

Desigualtat de Jensen: diferència entre les revisions