Revisió del 09:02, 20 maig 2010 modifica Mcapdevila (discussió \| contribucions) 185.469 edits →‎Teoria de la informació ← Edició anterior		Revisió del 09:08, 20 maig 2010 modifica desfés Mcapdevila (discussió \| contribucions) 185.469 edits Cap resum de modificació Edició següent →
Línia 8: Donada una funció convexa φ, nombres '' x '' <sub> 1 </sub>, '' x '' <sub> 2 </sub>, ..., '' x '' <sub> '' n '' </sub> en el seu domini i pesos positius '' a <sub> i </sub> '' es compleix que: : <math> \varphi \left (\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \lile \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i}. </Math> Si els pesos '' a <sub> i </sub> '' són tots iguals a 1, llavors : <math> \varphi \left (\frac{\sum x_i}{n}\right) \lile \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}. </Math> Per exemple, com la funció-log ('' x '') és convexa, la desigualtat anterior es pot concretar en Línia 21: Sigui (Ω, '' A '', '' μ '') un [[espai mètric]] tal que μ (Ω) = 1. Si '' g '' és una funció real μ-[[funció integrable\|integrable]] i φ una funció convexa en l'eix real, llavors: : <math> \varphi \left (\int_ \Omega g \, d \mu \right) \lile \int_ \Omega \varphi \circ g \, d \mu. </Math> En anàlisi real, pot ser necessària una estimació de Línia 29: on <math> a, b </math> són nombres reals i <math> f: [a, b] \to \mathbb{R}</math> és una funció real integrable. Llavors, reescalat, es pot aplicar la desigualtat de Jensen per obtenir : <math> \varphi \left (\int_a^bf (x) \, dx \right) \lile \int_a^b \varphi ((ba) f (x)) \frac{1}{bany}\, dx . </Math> La desigualtat de Jensen, usant la notació habitual en teoria de la [[probabilitat]], pot reescriure així: : <math> \varphi \left (\mathbb{E}\ {X \}\right) \leq \mathbb{E}\ {\varphi (X) \}. </Math> Línia 46: '' g '' és una funció real qualsevol i φ és una funció convexa sobre el rang de '' g '', llavors : <math> \varphi \left (\int_{- \infty}^\infty g (x) f (x) \, dx \right) \lile \int_{- \infty}^\infty \varphi (g ( x)) f (x) \, dx. </Math> En cas que '' g '' sigui la funció identitat, s'obté : <math> \varphi \left (\int_{- \infty}^\infty x \, f (x) \, dx \right) \lile \int_{- \infty}^\infty \varphi (x) \, f (x) \, dx. </math> === Física estadística === Línia 65: Si '' p '' ('' x '') és la distribució de probabilitat veritable de '' x '' i '' q '' ('' x '') és una altra distribució, aplicant la desigualtat a la variable aleatòria '' I '' ('' x '') = '' q '' ('' x '')/'' p '' ('' x '') i la funció φ ('' i '') =-log ('' i '') s'obté : <math> \Bbb{E}\{\varphi (Y)\} \ge \varphi(\Bbb{E}\{Y\}) </math> : <math> \Rightarrow \int p (x) \log \frac{p (x)}{q (x)}\, dx \ge - \log \int p (x) \frac{q (x)}{p (x)}\, dx </math>

Desigualtat de Jensen: diferència entre les revisions