Geometria diferencial: diferència entre les revisions

Fins a mitjans del segle XIX, la geometria diferencial tenia essencialment un punt de vista ''extrínsec'' respecte de les varietats trobades, això significa que eren definides com un subconjunt d'un [[espai vectorial]] (normalment <math>\R^n\,</math>). Per exemple, s'estudiava les propietats d'una corba en el pla, o d'una superfície en l'espai de dimensió tres. ([[Geometriageometria diferencial clàssica]]).

Els treballs de [[Bernhard Riemann]] van introduir una visió ''intrínseca'' de les varietats, constantment desenvolupada posteriorment. A partir d'aleshores, són considerades com un objecte '' en si mateix'', i no com a part d'un altre. Ja no té sentit voler sortir de la varietat, perquè per ellella sola solja té prou consistència, independentment de qualsevol noció d'espai circumdant, i per tant es podrà donar un sentit a les nocions de ''tangència'' i ,''curvatura'' , etc.

El punt de vista intrínsec té l'avantatge de ser molt més flexible que el punt de vista extrínsec, ni que sigui pel fet que no obliga a trobar un espai que pugui ''contenir'' la varietat considerada, elcosa que a vegades, pot ser difícil. Per exemple, l'[[ampolla de Klein]] és una superfície (és a dir, una varietat de dimensió 2) però per tal de submergir-la en un espai circumdant cal escollir <math>\R^4\,</math>. Fins i tot, no és evident deque poderes pugui trobar un espai ''continent'' de l'espai-temps corbat. Tantmateix, la flexibilitat guanyada es tradueix en una major abstracció i dificultat per poder definir nocions geomètriques com la [[curvatura]], o topològiques com la [[connexitat]].