Geometria diferencial: diferència entre les revisions

* l'estudi de varietats.

* els [[fibrat tangent|fibrats tangents]] i [[fibré cotangent|cotangents]]

* les [[forma diferencial|formes diferencials]]

* les derivades exteriors

* les integrals de les P-formes sobre les P-varietats

*El el [[teorema de Stokes]]

*Les les [[derivada de Lie|derivades de Lie]]

* la [[curvatura]]

Una varietat diferencial en un [[espai topològic]] és un conjunt d'[[homeomorfisme|homeomorfismes]] dels conjunts oberts en una esfera unitària <math>\R^n\,</math>, tals que els conjunts oberts cobreixen l'espai i que si <math>f,g\,</math> són homeomorfismes llavors la funció <math>f^{-1}\circ g\,</math> d'un subconjunt obert de l'esfera unitària cap a l'esfera oberta unitària és infinitament diferenciable. EsÉs a dir, que la funció d'una varietat cap a '''R''' és infinitament diferenciable si la composició de cada homeomorfisme és el resultat d'una funció infinitament diferenciable a partir de l'esfera unitària a '''R'''.

En cada punt de la varietat es troba un espai tangent en aquest punt, constituït per totes les velocitats (direcció i intensitat) possibles i i amb les quequals és possible apartar-se d'aquest punt. Per a una varietat de n-dimensionsdimensional, l'espai tangent en cada un dels punts és un espai vectorial de ''n-'' dimensions o, en altres termes, una còpia de <math>\R^n\,</math>. L'espai tangent té diverses definicions. Una definició possible és l'espai vectorial dels camins que passen per aquest punt, factoritzat per la relació d'equivalència que identifica dos camins que tenen el mateix ''vector velocitat'' en aquest punt (és a dir, la mateixa derivada si s'opera amb qualsevol identificador).

Un [[camp de vectors]] és una funció d'una variable respecte la unió disjunta dels seus espais tangents (la unió amb si mateixa és una varietat coneguda com el [[fibrat tangent]]) de tal forma que, en cada punt, el valor obtingut és un element de l'espai tangent en aquest punt. Una tal relació s'anomena ''secció'' d'una fibrat. Un camp vectorial és diferenciable si per a cada funció diferenciable, l'aplicació del camp en cada punt produeix una funció diferenciable. Els camps vectorials poden ser percebuts com equacions diferenciables independents del temps. Una funció diferenciable dels reals sobre la varietat és una corba de la varietat. Això defineix una funció dels reals sobre els espais tangents: la velocitat de la corba en cada un dels punts que la contitueixen. Una corba és una solució del camp vectorial si, per a cada punt, la velocitat de la corba és igual al camp vectorial en aquest punt.

Una [[forma lineal|k-forma lineal]] alternada és un element de la <math>k^e\,</math> potència d'un tensor antisimètric del [[espai dual]] <math>E^*\,</math> d'un [[espai vectorial]] <math>E\,</math>. Una k-forma diferencial d'una varietat és una opció, en cada punt de la varietat, de la dita k-forma alternada on <math> E\,</math> és l'espai tangent en aquest punt. Serà diferenciable si el resultat després d'una operació sobre <math>k\,</math>-camps vectorials diferenciables, és una funció diferenciable de la varietat cap elsals reals.