Espai vectorial quocient: diferència entre les revisions

En [[àlgebra lineal]], l<nowiki>' </nowiki>'''espai vectorial quocient''' d'un [[espai vectorial]] ''V'' sobreper un [[subespai vectorial|subespai]] ''N'' s'obté "col·lapsant" ''N'' a zero. L'espai obtingut s'anomena un '''espai quocient''' i es notadenota ''V'' /''N'' (de vegades es llageixllegeix ''V'' mòdul ''N'' ).

Formalment, la construcció es fa de la manera següent {{harv|Halmos|1974|loc=§21-22}}. Sia ''V'' un [[espai vectorial]] sobre un [[cos (matemàtiques)|cos]] ''K'', i sia ''N'' un [[subespai vectorial]] de ''V''. Es defineix una [[relació d'equivalència]] ~ adins ''V'' establint que ''x'' ~ ''y'' siquan ''x''  −  ''y'' ∈ ''N''. És a dir ''x'' està relacionat amb ''y'' si un es pot obtenir a partir de l'altre afegint-li un element de ''N''. D'aquesta definició, es pot deduir que qualsevol element de ''N'' és equivalent al [[vector zero]]; en altres paraules tots els vectors en ''N'' corresponen a la [[classe d'equivalència]] del vector zero.

La [[classe d'equivalència]] de ''x'' sovint es notadenota

: [''x'' ] = {''x'' + ''n'' : ''n'' ∈ ''N'' }.

L'espai quocient ''V'' /''N'' llavors es defineix com el [[conjunt quocient]] ''V'' /~ respecte d'aquesta relació, és a dir, el conjunt de totes els classes d'equivalència per sobreen ''V'' per ~. La multiplicació per un escalar i l'addició es defineixen en les classes d'equivalència per

Sia ''X''   = '''R''' ℝ² el pla cartesià estàndard, i sia ''Y'' una línia que passa erper l'origen de ''X''. Llavors l'espai quocient ''X''/''Y'' es pot identificar amb l'espai de totes les línies en ''X'' que són paral·lelsleles a ''Y''. És a dir que, els elements del conjunt ''X''/''Y'' són línies en ''X'' paral·lelleles a ''Y''. Això dóna una via per visualitzar espais quocient geomètricament.

Un altre exemple és el quocient de '''R'''ℝ^''n'' pel subespai generat pels ''m'' primers vectors de base estàndard. L'espai '''R'''ℝ^''n'' consisteix en totes les [[n-pla|''n'' -tuplesples]] de nombres reals (''( x'' ₁,… ... ,''x'' _''n''). El subespai, identificat amb '''R'''ℝ^''m'', consta de totes les ''n'' -tuplesples tals que només les primeres ''m'' components són diferents de zero: (''( x'' ₁,… ... ,''x'' _''m'',0,0,… ... ,0). Dos vectors de '''R'''ℝ^''n'' pertanyen a la mateixa classe de congruènciad'equivalència mòdul el subespai si i només si són idèntics en les últimes ''n'' −''m'' coordenades. L'espai quocient '''R'''ℝ^''n''/ '''R'''ℝ^''m'' és [[isomorfisme|isomorf]] a '''R'''ℝ^{''n'' −''m''} de forma òbvia.

:<math>\mathrmoperatorname{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).</math>

Sia ''T'' : ''V'' → ''W'' un [[operador lineal]]. El [[nucli (matemàtiques)|nucli]] de ''T'', notat ker(''T''), és el conjunt de tot ''x'' ∈ ''V'' tal que ''TxT''(''x'') = 0. El nucli és un subespai de ''V'' . El [[primer teorema d'isomorfisme]] d'àlgebra lineal diu que l'espai quocient ''V'' /ker(''T'') és isomorf a la [[recorregut|imatge]] de ''V'' en ''W'' . Un corol·lari immediat, per a espais de dimensió finita, és el [[teorema del rang]]: la dimensió de ''V'' és igual a la dimensió del nucli de més la dimensió de la imatge (el ''rang'' de ''T'' ).

El [[conucli]] d'un operador lineal ''T'': ''V'' → ''W'' es defineix com l'espai quocient ''W'' /im(''T'').

Si ''X'' és un [[Espaiespai de Banach]] i ''M'' és un subespai [[conjunt tancat|tancat]] de ''X'', llavors el quocient ''X''/''M'' és també un espai de Banach. L'espai quocient ve dotat d'una estructura d'espacialespai vectorial per la construcció de la secció prèvia. Es defineix una norma sobre ''X''/''M'' per

Es nota per ''C'' [0,1] l'espai de Banach de funcions reals contínues en l'interval [0,1] amb la [[norma uniforme]]. Es nota el subespai de totes les funcions ''f'' ∈ ''C'' [0,1] amb ''f'' (0) = 0 per ''M''. Llavors la classe d'equivalència d'alguna funció ''g'' està determinada pel seu valor a 0, i el seu espai quocient ''C'' [0,1]  /  ''M'' és isomorf a '''R'''ℝ.

Si ''X'' és un [[Espaiespai de Hilbert]], llavors l'espai quocient ''X''/''M'' és isomorf als [[Espai de Hilbert#Complements ortogonals|complements ortogonals]] de ''M''.

El quocient d'un [[espai localment convex]] per un subespai tancat és també localment convex {{harv|Dieudonné|1970|loc=12.14.8}}. En efecte, suposant que ''X'' és localment convex de manera que la topologia en ''X'' és generada per una família de [[norma (matemàtiques)|seminormes]] { ''p'' _α; | α; ∈ ''A'' } on ''A'' és un conjunt índex. Sia ''M'' un subespai tancat, i es defineixen seminormes ''q'' _α en ''X'' /''M''

Si, a més ''X'' és [[metritzable]], llavors també ho és ''X''/''M''. Si ''X'' és un [[Espaiespai de Fréchet]], llavors també ho és ''X''/''M'' {{harv|Dieudonné|1970|loc=12.11.3}}.

{{ORDENA:Espai Vectorial Quocient (Algebra Lineal)}} <!--ORDENA generat per bot-->