Diferència entre revisions de la pàgina «Espai vectorial quocient»

cap resum d'edició
m (Espai quocient (àlgebra lineal) mogut a Espai vectorial quocient)
En [[àlgebra lineal]], l<nowiki>' </nowiki>'''espai vectorial quocient''' d'un [[espai vectorial]] ''V'' sobreper un [[subespai vectorial|subespai]] ''N'' s'obté "col·lapsant" ''N'' a zero. L'espai obtingut s'anomena un '''espai quocient''' i es notadenota ''V'' /''N'' (de vegades es llageixllegeix ''V'' mòdul ''N'' ).
 
== Definició ==
 
Formalment, la construcció es fa de la manera següent {{harv|Halmos|1974|loc=§21-22}}. Sia ''V'' un [[espai vectorial]] sobre un [[cos (matemàtiques)|cos]] ''K'', i sia ''N'' un [[subespai vectorial]] de ''V''. Es defineix una [[relació d'equivalència]] ~ adins ''V'' establint que ''x'' ~ ''y'' siquan ''x''    ''y'' ∈ ''N''. És a dir ''x'' està relacionat amb ''y'' si un es pot obtenir a partir de l'altre afegint-li un element de ''N''. D'aquesta definició, es pot deduir que qualsevol element de ''N'' és equivalent al [[vector zero]]; en altres paraules tots els vectors en ''N'' corresponen a la [[classe d'equivalència]] del vector zero.
 
La [[classe d'equivalència]] de ''x'' sovint es notadenota
:[''x''] = ''x'' + ''N''
 
ja que ve donada per
: [''x'' ] = {''x'' + ''n'' : ''n'' ∈ ''N'' }.
 
L'espai quocient ''V'' /''N'' llavors es defineix com el [[conjunt quocient]] ''V'' /~ respecte d'aquesta relació, és a dir, el conjunt de totes els classes d'equivalència per sobreen ''V'' per ~. La multiplicació per un escalar i l'addició es defineixen en les classes d'equivalència per
* α;[''x''] = [α;''x''] per a tot α; ∈ ''K'', i
* [''x''] + [''y''] = [''x'' +''y''].
No és dificil comprovar que aquestes operacions estan [[ben definides]] (és a dir no depenen de l'elecció del representant). Aquestes operacions converteixen l'espai quocient ''V''/''N'' a un espai vectorial sobre ''K'' on ''N'' és la classe zero, [0].
 
* α;[''x''] = [α;''x''] per a tot α; ∈ ''K'', i
La aplicació que associa a ''v'' ∈ ''V'' la classe d'equivalència [''v''] es coneix com l' '''aplicació quocient'''.
* [''x'']  +  [''y''] = [''x'' + ''y''].
No és dificil comprovar que aquestes operacions estan [[ben definides]] (és a dir no depenen de l'elecció del representant). Aquestes operacions converteixen l'espai quocient ''V''/''N'' aen un espai vectorial sobre ''K'' on ''N'' és la classe zero, [0].
 
La aplicació que associa a cada ''v'' ∈  ''V'' la seva classe d'equivalència [''v''] es coneix com l' '''aplicació de projecció o de pas al quocient'''.
 
== Exemples ==
Sia ''X''   = '''R'''<sup>2</sup> el pla cartesià estàndard, i sia ''Y'' una línia que passa erper l'origen de ''X''. Llavors l'espai quocient ''X''/''Y'' es pot identificar amb l'espai de totes les línies en ''X'' que són paral·lelsleles a ''Y''. És a dir que, els elements del conjunt ''X''/''Y'' són línies en ''X'' paral·lelleles a ''Y''. Això dóna una via per visualitzar espais quocient geomètricament.
 
Un altre exemple és el quocient de '''R'''<sup>''n''</sup> pel subespai generat pels ''m'' primers vectors de base estàndard. L'espai '''R'''<sup>''n''</sup> consisteix en totes les [[n-pla|''n'' -tuplesples]] de nombres reals (''( x'' <sub>1</sub>, ... ,''x'' <sub>''n''</sub>). El subespai, identificat amb '''R'''<sup>''m''</sup>, consta de totes les ''n'' -tuplesples tals que només les primeres ''m'' components són diferents de zero: (''( x'' <sub>1</sub>, ... ,''x'' <sub>''m'' </sub>,0,0, ... ,0). Dos vectors de '''R'''<sup>''n''</sup> pertanyen a la mateixa classe de congruènciad'equivalència mòdul el subespai si i només si són idèntics en les últimes ''n'' −''m'' coordenades. L'espai quocient '''R'''<sup>''n''</sup>/ '''R'''<sup>''m'' </sup> és [[isomorfisme|isomorf]] a '''R'''<sup>''n'' −''m''</sup> de forma òbvia.
 
Més generalment, si ''V'' és una [[suma directa]] (interna) de subespais ''U'' i ''W'':
 
== Propietats ==
Hi ha un [[epimorfisme]] natural de ''V'' a l'espai quocient ''V''/''U'' donat a base de fer correspondre ''x'' a la seva classe d'equivalència [''x'']. El [[nucli (matemàtiques)|nucli]] d'aquest epimorfisme és el subespai ''U''. Aquesta relació queda resumida clarament per la [[successió exacta curta]]
 
Hi ha un [[epimorfisme]] natural de ''V'' a l'espai quocient ''V''/''U'' donat a base de fer correspondre ''x'' a la seva classe d'equivalència [''x'']. El [[nucli (matemàtiques)|nucli]] d'aquest epimorfisme és el subespai ''U''. Aquesta relació queda resumida clarament per la [[successió exacta]]
:<math>0\to U\to V\to V/U\to 0.\,</math>
 
Si ''U'' és un subespai de ''V'', la [[dimensió d'un espai vectorial|dimensió]] de ''V''/''U'' s'anomena la '''[[codimensió]]''' de ''U'' en ''V''. Com a base de ''V'' es pot construir a partir d'una base ''A'' de ''U'' i una base ''B'' de ''V''/''U'' afegint un representant de cada element de ''B'' a ''A'', la dimensió de ''V'' és la suma de les dimensions de ''U'' i ''V''/''U''. Si ''V'' és de [[dimensió d'un espai vectorial|dimensió finita]], porta com a conseqüència que la codimensió de ''U'' en ''V'' és la diferència entre les dimensions de ''V'' i ''U'' {{harv|Halmos|1974|loc=Theorem 22.2}}:
:<math>\mathrmoperatorname{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).</math>
 
Sia ''T'' : ''V'' → ''W'' un [[operador lineal]]. El [[nucli (matemàtiques)|nucli]] de ''T'', notat ker(''T''), és el conjunt de tot ''x'' ∈ ''V'' tal que ''TxT''(''x'') = 0. El nucli és un subespai de ''V'' . El [[primer teorema d'isomorfisme]] d'àlgebra lineal diu que l'espai quocient ''V'' /ker(''T'') és isomorf a la [[recorregut|imatge]] de ''V'' en ''W'' . Un corol·lari immediat, per a espais de dimensió finita, és el [[teorema del rang]]: la dimensió de ''V'' és igual a la dimensió del nucli de més la dimensió de la imatge (el ''rang'' de ''T'' ).
 
El [[conucli]] d'un operador lineal ''T'': ''V'' → ''W'' es defineix com l'espai quocient ''W'' /im(''T'').
 
== Quocient d'un espai Banach per un subespai ==
Si ''X'' és un [[Espaiespai de Banach]] i ''M'' és un subespai [[conjunt tancat|tancat]] de ''X'', llavors el quocient ''X''/''M'' és també un espai de Banach. L'espai quocient ve dotat d'una estructura d'espacialespai vectorial per la construcció de la secció prèvia. Es defineix una norma sobre ''X''/''M'' per
:<math> \| [x] \|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X. </math>
 
=== Exemples ===
 
Es nota per ''C'' [0,1] l'espai de Banach de funcions reals contínues en l'interval [0,1] amb la [[norma uniforme]]. Es nota el subespai de totes les funcions ''f'' ∈ ''C'' [0,1] amb ''f'' (0) = 0 per ''M''. Llavors la classe d'equivalència d'alguna funció ''g'' està determinada pel seu valor a 0, i el seu espai quocient ''C'' [0,1]  /  ''M'' és isomorf a '''R'''.
 
Si ''X'' és un [[Espaiespai de Hilbert]], llavors l'espai quocient ''X''/''M'' és isomorf als [[Espai de Hilbert#Complements ortogonals|complements ortogonals]] de ''M''.
 
=== Generalització a espais localment convexos ===
 
El quocient d'un [[espai localment convex]] per un subespai tancat és també localment convex {{harv|Dieudonné|1970|loc=12.14.8}}. En efecte, suposant que ''X'' és localment convex de manera que la topologia en ''X'' és generada per una família de [[norma (matemàtiques)|seminormes]] { ''p'' <sub>α;</sub> | α; ''A'' } on ''A'' és un conjunt índex. Sia ''M'' un subespai tancat, i es defineixen seminormes ''q'' <sub>α</sub> en ''X'' /''M''
 
:<math>q_\alpha([x]) = \inf_{x\in [x]} p_\alpha(x).</math>
Llavors ''X''/''M'' és un espai localment convex, i la seva topologia és la [[topologia quocient]].
 
Si, a més ''X'' és [[metritzable]], llavors també ho és ''X''/''M''. Si ''X'' és un [[Espaiespai de Fréchet]], llavors també ho és ''X''/''M'' {{harv|Dieudonné|1970|loc=12.11.3}}.
 
== Vegeu també ==
 
 
{{ORDENA:Espai Vectorial Quocient (Algebra Lineal)}} <!--ORDENA generat per bot-->
[[Categoria:Espais vectorials]]
 
[[Categoria:Àlgebra lineal]]
 
[[de:Faktorraum]]