Diferència entre revisions de la pàgina «Fórmula de Brahmagupta»

cap resum d'edició
{{MT}}
 
En [[geometria]], l '''' fórmula Brahmagupta ''' troba l'àrea de qualsevol [[quadrilàter]] donades les longituds dels costats i alguns dels [[ángulosangles]]. En la seva forma més comuna, s'obté l'àrea dels quadrilàters que es pugui inscriure en un [[cercle]].
 
== Forma Bàsica ==
: <math> P^2 q^2 - 2pq \cos A = r^2 s^2 - 2rs \cos C. \, </Math>
 
Substituint <math> \cos C = - \cos A </math> (ja que els ángulosangles són [[angle complementari|complementaris]]) i reordenant, hem de
 
: <math> 2 \cos A (pq rs) = p^2 q^2 - r^2 - s^2. \, </Math>
: <math> \Sqrt{(sa) (sb) (sc) (sd)-abcd \cos^2 \theta}</math>
 
on θ és la meitat de la suma de dos ángulosangles oposats. (La parella és irrellevant: si els altres dos ángulosangles es prenen, la meitat de la seva suma és el suplement de θ. Com que cos (180 ° - θ) =-cosq, tenim cos <sup> 2 </sup> (180 ° - θ) = cos <sup> 2 </sup> θ.) Es desprèn d'això que l'àrea d'un quadrilàter cíclic és l'àrea màxima possible per a qualsevol quadrilàter amb les longituds laterals donat.
 
Aquesta fórmula general és més conegut de vegades com la fórmula de Bretschneider, però d'acord a [http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html MathWorld] s'ha aparentment a [[Julian Coolidge|Coolidge]] en aquesta forma, l'expressió de Bretschneider ha estat
on '' p '' i '' q '' són les longituds de les diagonals del quadrilàter.
 
És una característica dels quadrilàters cíclics (i en última instància, de ángulosangles inscrits) que els ángulosangles oposats d'un quadrilàter sumen 180 °. En conseqüència, en el cas d'un quadrilàter inscrit, θ = 90 °, on el terme
 
: <math> Abcd \cos^2 \theta = abcd \cos^2 \left (90^\circ \right) = abcd \cdot0 = 0, \, </math>
146.288

modificacions