Diferència entre revisions de la pàgina «Fórmula de Brahmagupta»

== Extensió als Quadrilàters no cíclics ==
 
En el cas dels quadrilàters cíclics no, la fórmula de Brahmagupta pot estendre's en considerar les mesures de dos oposatscostats voresoposats dedel l'quadrilàter
 
: <math> \sqrt{(sa) (sb) (sc) (sd)-abcd \cos^2 \theta}</math>
 
on θ és la meitat de la suma de dos angles oposats. (La parella és irrellevant: si es donen els altres dos angles es prenen, la meitat de la seva suma és el suplement de θ. Com que cos (180 ° - θ) =-cosq, tenim cos <sup> 2 </sup> (180 ° - θ) = cos <sup> 2 </sup> θ.) Es desprèn d'això que l'àrea d'un quadrilàter cíclic és l'àrea màxima possible per a qualsevol quadrilàter ambper lesunes longituds lateralsde costats donatdonades.
 
Aquesta fórmula general éses més conegutconeix de vegades com la fórmula de Bretschneider, però d'acord aamb [http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html MathWorld] s'haaquesta forma aparentmentes deu sembla ser a [[Julian Coolidge|Coolidge]] en aquesta forma, l'expressió de Bretschneider hava estatser
 
: <math> \sqrt{(sa) (sb) (sc) (sd) - \textstyle{1 \over4}(ac bd pq) (ac bd-pq)}\, </math>
on '' p '' i '' q '' són les longituds de les diagonals del quadrilàter.
 
És una característica dels quadrilàters cíclics (i en última instància, de d'angles inscrits) que els angles oposats d'un quadrilàter sumen 180 °. En conseqüència, en el cas d'un quadrilàter inscrit, θ = 90 °, on el terme
 
: <math> Abcd \cos^2 \theta = abcd \cos^2 \left (90^\circ \right) = abcd \cdot0 = 0, \, </math>
146.388

modificacions