Diferència entre revisions de la pàgina «Màxims i mínims»

==Definicions==
 
Definim màxim com
D'una funció real ''f' defiida en la [[recta real]] es diu que té un '''màxim local''' al punt ''x''<sup>&lowast;</sup>, si existeix algun &epsilon; > 0, tal que ''f''(''x''<sup>&lowast;</sup>) &ge; ''f''(''x'') per a tot ''x'' tal que |''x'' − ''x''<sup>&lowast;</sup>| < &epsilon;. Del valor de la funció en aquest punt se’n diu '''màxim''' de la funció.
{{definició|Donada una funció real <math>\,f(x)</math>, es diu que té un '''màxim local''' al punt <math>\,x_0</math>, si existeix algun [[Veïnat (matemàtiques)|entorn reduit]] de <math>\,x_0</math>, que simbolitzarem per <math>E^*_{x_0}</math>, tal que <math>\forall x \in E^*_{x_0}: f(x) \leq f(x_0)</math>. }}
 
Del valor de la funció en aquest punt se’n diu '''màxim''' de la funció.
 
En la [[gràfica d'una funció]], els seus màxims locals tenen l'aspecte de cims dels turons.
 
De forma similar, una funció té un '''mínim local''' a ''x''<sup>&lowast;</sup>, si ''f''(''x''<sup>&lowast;</sup>) &le; ''f''(''x'') per a tot ''x'' tal que |''x'' − ''x''<sup>&lowast;</sup>| < &epsilon;. Del valor de la funció en aquest punt se’n diu '''mínim''' de la funció.
{{definició|Donada una funció real <math>\,f(x)</math>, es diu que té un '''mínim local''' al punt <math>\,x_0</math>, si existeix algun [[Veïnat (matemàtiques)|entorn reduit]] de <math>\,x_0</math>, que simbolitzarem per <math>E^*_{x_0}</math>, tal que <math>\forall x \in E^*_{x_0}: f(x) \geq f(x_0)</math>. }}
 
Del valor de la funció en aquest punt se’n diu '''mínim''' de la funció.
 
En la gràfica de la funció, els seus mínims tenen l'aspecte de fons de les valls.
 
Una funció té un '''màxim global''' a ''x''<supmath>&lowast;\,x_0</supmath>, si ''<math>f''(''x''<sup>&lowast;</sup>x_0) &ge;\geq ''f''(''x'') per\forall ax tot\in ''x''D</math>.
 
De forma similar, una funció té un '''mínim global''' a ''x''<supmath>&lowast;\,x_0</supmath>, si ''<math>f''(''x''<sup>&lowast;</sup>x_0) &le;\leq ''f''(''x'') per\forall ax tot\in ''x''D</math>.
 
Qualsevol màxim (mínim)extrem global ha de ser també un màxim (mínim)extrem local., Noperò no tots els màxims o mínimsextrems locals són màxims o mínims globals.
 
''Terminologia'': El termes '''local''' i '''global''' són sinònims de '''relatiu''' i de '''absolut''' respectivament. '''Extrem''' és un terme que inclou tant '''màxim''' com '''mínim''': un '''extrem local''' és un màxim o un mínim, local o relatiu, i un '''extrem global''' és un màxim o un mínim, global o absolut.
Una funció real [[funció contínua|contínua]] sobre un [[conjunt compacte]] sempre té máxim i mínim en el conjunt. Un exemple important és una funció el domini de la qual és un [[intèrval]] real tancat i afitat (vegeu la gràfica de més amunt). El requisit de què hi hagi un entorn del punt, impedeix que els extrems locals es puguin donar en els punts finals o inicials d'un interval. Així no és ''sempre veritat'', pel cas de dominis finits que els extrems globals hagin de ser també extrems locals.
 
''Terminologia'': El terme '''òptim''', depenent del context pot substituir, un o tots dos, els termes '''màxim''' o '''mínim'''. Alguns problemes d'optimització busquen un màxim global mentre que d'altres busquen un mínim.
 
==Trobar màxims i mínims==
470

modificacions