Teorema de Bolzano-Weierstrass: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 2:
El '''teorema de Bolzano-Weierstrass''' afirma que
{{teorema| 1 = Tota [[successió]] fitada de [[nombre real|nombres reals]] conté alguna
Una [[successió]] ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, ... és [[successió fitada|fitada]] si existeix un nombre real ''L'' tal que el [[valor absolut]] |''a''<sub>''n''</sub>| és inferior a ''L'' per a tot índex ''n''. Gràficament es pot imaginar com punts ''a''<sub>i</sub> representats en una gràfica bidimensional, amb ''i'' sobre l'eix horitzontal i el valor sobre el vertical. D'aquesta manera la successió avança cap a la dreta a mesura que creix ''i'', i està fitada si podem dibuixar una banda horitzontal que engloba tots els punts.
Una
{{TÍTOL: Demostració}}
En efecte, si ∀n, a ≤ a<sub>n</sub> ≤ b -perquè a<sub>n</sub> és fitada- denotem per I<sub>0</sub> el conjunt de nombres reals x que compleixen a≤x≤b
El teorema es pot generalitzar a successions fitades a '''R'''<sup>''n''</sup> (per inducció i considerant una component cada vegada) i està relacionat amb el [[teorema de Heine-Borel]].
| |||