Teorema de Bolzano-Weierstrass: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació
S'ha afegit la demostració del teorema i millorat la introducció.
Línia 7:
 
Una successió parcial de {a<sub>n</sub>} és una successió formada per alguns termes d'aquesta, sense variar l'ordre. Per exemple, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>5</sub>, ''a''<sub>13</sub>, etc.
 
El teorema es pot generalitzar a successions fitades a '''R'''<sup>''n''</sup> (per inducció i considerant una component cada vegada) i està relacionat amb el [[teorema de Heine-Borel]].
 
 
==Demostració==
 
En efecte, si ∀n, a ≤ a<sub>n</sub> ≤ b (perquè a<sub>n</sub> és fitada) denotem per "I<sub>0</sub>" el conjunt de nombres reals "x" que compleixen a≤ x ≤b. Llavors dividim "I<sub>0</sub>" en dues meitats i escollim la meitat de la dreta si conté infinits termes de la successió a<sub>n</sub>, en cas contrari, escollim la meitat esquerra. Denotem per "I<sub>1</sub>" la meitat escollida. Aleshores tornemt<sub>Text en subíndex</sub>ornem a dividir "I<sub>1</sub>" en dues meitats i n'escollim una aplicant el criteri anterior. Denotem per "I<sub>2</sub>" la meitat escollida. Repetim el procés indefinidament.
 
D'aquesta manera tenim que tots els conjunts escollits "I<sub>0</sub>, I<sub>1</sub>, I<sub>2</sub>", ... contenen infinits termes i a més a més, cada un d'ells és subconjunt de l'anterior ja que conté la meitat de termes que l'anterior. És a dir, cada subconjunt "I<sub>k</sub>" té la meitat de llargada que el seu anterior, i per tant, el conjunt "I<sub>K</sub>" tindrà una llargada "L<sub>K</sub>" = (b - a)/2<sup>K</sup>. Llavors podem construir una successió {a<sub>n</sub>}∈ "I<sub>K</sub>" i "n<sub>k</sub>" < "n<sub>k+1</sub>" (que vol dir que la successió no s'acaba, ja que a cada "I<sub>K</sub>" sempre hi ha infinits termes de la successió a<sub>n</sub>). A més a més, {a<sub>n<sub>k</sub></sub>} és una successió parcial de a<sub>n</sub>. Aquesta successió parcial és una [[successió de Cauchy]] ja que, per construcció, si "n<sub>k</sub>" < "n<sub>l</sub>" ⇒ ∣a<sub>n<sub>k</sub></sub> - a<sub>n<sub>l</sub></sub>∣ < "L<sub>k</sub> = (b - a)/2<sup>K</sup>. Com que la successió és de Cauchy també és convergent (ja que estem treballant a ""R"").
 
[[Fitxer:teorema Bolzano - Weiertrass.png]]
 
El teorema es pot generalitzar a successions fitades a '''R'''<sup>''n''</sup> (per inducció i considerant una component cada vegada) i està relacionat amb el [[teorema de Heine-Borel]].
 
==Vegeu també==