Revisió del 00:12, 17 juny 2010 modifica SMP (discussió \| contribucions) Administradors de la interfície, Administradors 39.785 edits →‎Espai vectorial euclidià ← Edició anterior		Revisió del 01:06, 14 des 2010 modifica desfés Xqbot (discussió \| contribucions) Bots 211.471 edits m r2.5.2) (Robot modifica: cs:Eukleidovský prostor; canvis cosmètics Edició següent →
Línia 1: Un '''espai euclidià''' és un [[espai vectorial]] [[Norma (matemàtiques)\|normat]] de [[dimensió]] finita, en què la [[Norma (matemàtiques)\|norma]] és heretada d'un [[producte escalar]]. == Primera aproximació == L''''espai euclidià''' treu el seu nom del matemàtic grec [[Euclides]]. Línia 10: En el segle XIX, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. I és, en aquest moment, que es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals. == Definicions matemàtiques == === Espai vectorial euclidià === Un '''espai vectorial euclidià''' és un [[espai vectorial]] sobre <math>\mathbb R</math>, de dimensió finita ''n'' i dotat d'un [[producte escalar]]. Línia 22: : <math>\cos\theta=\frac {<\mathbf u,\mathbf v>}{\lVert\mathbf u\rVert\cdot \lVert\mathbf v\rVert}</math> === Espai afí euclidià === Un '''espai afí euclidià''' és l'[[espai afí]] associat a un [[espai vectorial]] euclidià. S'hi pot definir una [[distància]], nocions de l'[[angle]] geomètric, s'hi retroba el [[teorema de Pitàgores]] i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle. === Exemples d'espai vectorial euclidià === * L'espai <math>\mathbb {R}^n</math>, amb el [[producte escalar]] euclidià: : <math><(x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n)>=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n\,</math> és un espai vectorial euclidià de dimensió n. * L'[[espai vectorial]] dels [[polinomi~~\|polinomis~~]]s de grau igual o inferior a n amb el [[producte escalar]] euclidià : <math><\sum ^{n}_{i=0}a_i X^i,\sum ^{n}_{i=o}b_iY^i>=\sum _{i=0}^{n}a_ib_i</math> és un '''espai euclidià''' de dimensió <math>n+1</math>. amb el [[producte escalar]] : <math><P,Q>=\int _0^1P(t)Q(t)dt</math> és també un '''espai euclidià''' amb una [[Norma (matemàtiques)\|norma]] diferent . == Propietats dels espais euclidians == * En tot '''espai euclidià''' es pot definir una [[Base (àlgebra)\|base ortonormal]]. Més concretament, si <math>(u_1,u_2,...,u_n)\,</math> és una base de <math>\mathbf E</math>, existeix una base <math>(v_1,v_2,...,v_n)\,</math> ortonormal, tal que per a tot <math>k</math> entre 1 i ''n'', es compleix que : <math>\langle u_1,u_2,...,u_k \rangle = \langle v_1,v_2,...,v_k \rangle\,</math>. on s'entén per <math>\langle u_1,u_2,...,u_k \rangle\,</math> la varietat lineal engendrada per aquells <math>k</math> elements de la base. * Tot '''espai vectorial euclidià''' de dimensio <math>n</math> és [[isomorfisme\|isomorf]] a <math>\mathbb R^n</math> * Tot '''espai vectorial euclidià''' és complet. És per tant un cas particular d'[[espai de Banach]]. * Dos vectors amb [[producte escalar]] nul, es diuen '''ortogonals'''. En tot [[espai vectorial\|subespai vectorial]] <math>\mathbf F</math> d'un '''espai euclidià''' <math>\mathbf E</math> es pot associar un únic subespai <math>\mathbf {F}^{\bot}</math> format per tots els vectors ortogonals a tots els vector de <math>\mathbf F</math>, és el seu '''ortogonal'''. * Si <math>x\,</math> és un vector de <math>\mathbf E</math>, l'aplicació [[producte escalar]] per <math>x\,</math>,<math>s_x :y\mapsto <x,y></math> és una forma lineal. L'aplicació que associa <math>x\,</math> a <math>s_x\,</math> és un [[isomorfisme]] de l'espai vectorial <math>\mathbf E</math> en el seu [[espai dual\|dual]] <math>\mathbf E^</math>. Si <math>f\,</math> és un [[endomorfisme]] de <math>\mathbf E</math>, existeix un únic [[endomorfisme]], que s'escriurà per <math>f^\,</math> i anomenat '''adjunt de <math>f\,</math>''', tal que: : <math>\forall x,y \in \mathbf E, <f(x),y>=<x,f^(y)></math> Es defineix les nocions d''''endomorfisme simètric''' si <math>f=f^\,</math> , i '''endomorfisme antisimètric''' si <math>f=-f^\,</math>. Línia 62: {{ORDENA:Espai Euclidia}} <!--ORDENA generat per bot--> [[Categoria:Geometria]] [[Categoria:Espais vectorials]] Linha 70 ⟶ 71: [[bg:Евклидово пространство]] [[bn:ইউক্লিডীয় স্থান]] [[cs:~~Euklidovský~~Eukleidovský prostor]] [[cv:Евклид уçлăхĕ]] [[da:Euklidisk rum]]

Espai euclidià: diferència entre les revisions