Revisió del 20:23, 12 març 2010 modifica Gomà (discussió \| contribucions) Autopatrullats 15.103 edits Cap resum de modificació ← Edició anterior		Revisió del 21:49, 7 gen 2011 modifica desfés Xqbot (discussió \| contribucions) Bots 211.405 edits m r2.5.2) (Robot modifica: en:Lagrange multiplier; canvis cosmètics Edició següent →
Línia 8: Redueix el trobar els [[punt estacionari\|punts estacionaris]] d'una funció restringida d' ''n'' variables amb ''k'' restriccions a trobar els punts estacionaris d'una funció no restringida d' ''n+k'' variables. El mètode introdueix una variable escalar desconeguda nova (anomenada multiplicador de Lagrange) per a cada restricció, i defineix una funció nova (anomenada Lagrangià) en termes de la funció original, les restriccions, i els multiplicadors Lagrange. == Introducció == Considereu un cas bidimensional. Suposeu una funció <math>f(x,y)</math> que cal maximitzar subjecte a la restricció Línia 28: La condició de tangència s'expressa geomètricament dient que els [[gradient]]s de <math> f </math> i de <math> g </math> són vectors paral·lels en els màxims, ja que els pendents són sempre normals a les isolínies. Per tant, la solució del problema són punts <math>(x,y)</math> on <math>\nabla_{x,y} f = \lambda\nabla_{x,y} g</math> i, a més, <math>g(x,y) = c</math>. Per tal d'incorporar aquestes dues condicions a una equació, s'introdueix un escalar desconegut, <math>\lambda</math>, i es resol :<math> \nabla_{x,y,\lambda} F \left( x , y, \lambda \right)=0 </math> amb :<math> F \left( x , y, \lambda \right) = f \left(x, y \right) + \lambda \left(g \left(x, y \right) - c \right), </math> Línia 178: Per això, la distribució uniforme és la distribució amb l'entropia més gran. == Economia == L'optimització restringida juga un paper central a l'[[economia]]. Per exemple, el problema d'elecció per un [[teoria del consumidor\| consumidor]] es representa com el problema de maximitzar una [[funció utilitat]] subjecte a una [[restricció pressupostària]]. El multiplicador de Lagrange té la interpretació econòmica del [[preu ombra]] associat a la restricció, en aquest cas la [[utilitat marginal]] d'[[ingressos]]. == El principi fort del Lagrangià: dualitat de Lagrange == Donat un problema d'[[optimització convexa]] en forma canònica Línia 200: : <math>g(\lambda,\nu) = \inf_{x\in\mathcal{D}} L(x,\lambda,\nu) = \inf_{x\in\mathcal{D}} \left ( f_0(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i f_i(x) + \sum_{i=1}^p \nu_i h_i(x) \right ).</math> La funció dual <math>g</math> és [[funció còncava\|còncava]], àdhuc quan el problema inicial és no convex. La funció dual produeix fites inferiors de l'òptim <math>p^</math> del problema inicial; per a qualsevol <math>\lambda \geq 0 </math> i qualsevol <math>\nu</math> tenim <math>g(\lambda,\nu) \leq p^ </math>. Si es compleix el requisit d'una restricció com la [[Condició de Slater]] i el problema original és convex, llavors tenim dualitat forta, és a dir que <math>d^* = \max g(\lambda,\nu) = \inf f_0 = p^(x) </math>. == Vegeu també == [[Condicions de Karush-Kuhn-Tucker]]: generalització del mètode dels multiplicadors de Lagrange. * [[Multiplicadors de Lagrange en espais de Banach]]: una altra generalització del mètode de multiplicadors de Lagrange. Línia 209: <References/> == Enllaços externs == Consulteu el següent enllaç per referències a l'obra original de Lagrange i per a una relació de la terminologia dels Multiplicadors Lagrange. * [http://members.aol.com/jeff570/l.html Usos més primerencs coneguts d'algunes de les paraules de matemàtiques d: L] Exposició * [http://www.slimy.com/~steuard/teaching/tutorials/Lagrange.html Conceptual Introduction] (més una breu discussió dels multiplicadors de Lagrange en el [[càlcul de variacions]] com s'utilitzen en física) * [http://www.cs.berkeley.edu/~klein/papers/lagrange-multipliers.pdf Multiplicadors de Lagrange sense marcat permanent] (tutorial de Dan Klein) Text suplementari i applets interactius * [http://www.umiacs.umd.edu/~resnik/ling848_fa2004/lagrange.html Explicació senzilla amb un exemple de governs emprant impostos com a multiplicadors de Lagrange] * [http://www-math.mit.edu/18.02/applets/LagrangeMultipliersTwoVariables.html Applet] * [http://www.math.gatech.edu/~carlen/2507/notes/lagMultipliers.html Tutorial i applet] * [http://www.slimy.com/~steuard/teaching/tutorials/Lagrange.html Una introducció al mètode dels Multiplicadors de Lagrange] * [http://midnighttutor.com/Lagrange_multiplier.html Conferència en vídeo de qualitat sobre Multiplicadors de Lagrange] [[Categoria:Càlcul multivariable]] [[de:Lagrange-Multiplikator]] [[en:Lagrange ~~multipliers~~multiplier]] [[es:Multiplicadores de Lagrange]] [[fi:Lagrangen kertoimet]]

Multiplicadors de Lagrange: diferència entre les revisions