Gairebé pertot: diferència entre les revisions

En [[teoria de la mesura]] (una branca de l'[[anàlisi matemàtica]]), una propietat es compleix '''quasi per a totpertot''' o '''gairebé a tot arreu''' si el conjunt d'elements per als quals no es compleix la propietat és un [[conjunt negligible]], és a dir, un conjunt de [[mesura zero]] (Halmos 1974). En casos on la mesura no és completa, n'hi ha prou amb que el conjunt estigui contingut en un conjunt de la mesura zero. En parlar de conjunts de [[nombre real|nombres reals]], se suposa la [[mesura de Lebesgue]] llevat que es manifesti explícitament un altre cosa.

El terme ''Quasi per a totpertot'' s'abreuja ''q.p.t.''<ref>

* Si ''f'' : [''a'', ''b'' ] → '''R''' és una funció [[funció monotòna|monotòna]], llavors ''f'' és [[derivada|derivable]] quasi per a totpertot.

:convergeix a ''f''(''x'') quan <math>\epsilon</math> tendeix a zero. El conjunt ''E'' s'anomena el conjunt de Lebesgue de ''f'' . Es pot demostrar que el seu complementari té mesura zero. En altres paraules, la mesura de Lebesgue de ''f'' convergeix a ''f'' quasi per a totpertot.

* Si ''f'' (''x'''' y'') és [[Borel measurable]] en '''R'''² llavors quasi per a tot ''x'', la funció ''y'' →''f'' (''x'''' y'') és Borel mnesurablemesurable.

* Una [[funció fitada]] ''f'' : [''a'', ''b'' ] <tt>-></tt> '''R''' és [[Integral de Riemann|Riemann integrable]] si i només si és [[funció contínua|continuacontínua]] quasigairebé per a totpertot.

A fora del context de l'anàlisi real, la idea d'una propietat veritable quasi per a totpertot a vegades es defineix en termes d'un [[ultrafiltre]]. Un ultrafiltre en un conjunt ''X'' és una col·lecció màxima ''F'' de subconjunts de ''X'' tal que:

Una propietat dels punts de ''X'' es compleix quasi per a totpertot, respecte de d'un ultrafiltre ''F'', si el conjunt de punts per als que ''X'' es compleix pertany a ''F'' .

Per exemple, una construcció del sistema de [[nombres hiperreals]] defineix un nombre hiperreal com la classe d'equivalència de les successions que són iguals quasi per a totpertot tal com es defineixen per un ultrafiltre.

La definició de ''quasi per a totpertot'' en termes d'ultrafiltres està relacionada d'apro amb la definició en termes de mesures, perquè cada ultrafiltre defineix una mesura finita additiva que pren només els valors 0 i 1, on un conjunt té mesura 1 si i només si està inclòs en l'ultrafiltre.