Hiperplà: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
|||
Línia 47:
Sigui A= p(a) un punt simple de la quàdrica Q,. Tota recta per A continguda a TAQ o bé està totalment continguda a Q,(si Q, és cònica, aquest cas es dóna únicament quan Q, consta de dues rectes que es tallen en un punt diferent de A) o talla Q, únicament en A. En aquest cas ho fa amb multiplicitat 2. Tota recta per A que no pertanyi a TAQ talla Q en A amb multiplicitat 1.
Demostració: Sigui B = p(b) un punt arbitrari. La intersecció de la recta AB amb la quadràtica Q està donada per l’equació φ( a+ sb, a+ sb) = 0, que escriure de la forma βs^2+ γs=0, β= φ(b,b), γ= 2 φ(a,b).
Si B Є TAQ , llavors γ=0, tenim dues possibilitats:
a) B Є Q . Llavors B=0, β=0 i ф(a + sb, a+sb)=0, ∀s,de manera que tota la recta AB pertany a Q
b)B no pertany a Q. Llavors B≠0 i l’equació anterior és simplement Bs2 =0 , és a dir s=0 (que correspon al punt A) és arrel amb multiplicitat 2.
Si B no pertany aQ, llavors γ≠0 i s=0 és arrel simple de Bs2 + γs=0 .
Si Q és una cònica, A E Q és simple i la recta TaQ està continguda a Q, agafem un sistema de referència projectiu tal que A=(1,0,0), B= (0,1,0) amb B un punt qualsevol de TaQ. Com que, per exemple, el punt (1,1,0) també pertany a la recta i a la cònica, l’expressió general d’aquesta
ax2 +y2+cz2+2dxy+2cxz+2fyz=0
queda reduïda a
x(cz+2ex++2fy)=0
que és doncs el producte de dues rectes que es tallen en (-f,e,0). Com que A és simple, e≠0, ja que gradq (a)= (0,0,2e), i per tant el punt d’intersecció és diferent de A.
[[Categoria:Geometria]]
| |||