|
Considerem primer un pla P de R^3 que passa pel punt a = (a1, a2, a3) i té a p = (p1,p2,p3) diferent (0,0,0) com a vector normal. Dir que el vector p es normal al pla P equival a dir que p es normal (ortogonal o perpendicular) a qualsevol recta del pla. Així, si x = (x1,x2,x3) és un punt arbitràri de P, llavors el vector x-a és ortogonal a p. Per tant, el producte escalar de p y x-a ha de ser 0, després p.(x-a) = 0
Sigui E un k-espai vectorial de dimensió n+1 i φ una aplicació bilineal simètrica sobre E. Sigui Q la quadràtica determinada per φ, és a dir,
:<math>Q = \{p(x): \varphi(x,x) = 0\}\,\!</math>
I sigui A = p(a) Є Q,. Denotem φ( a,·) l’aplicació lineal E a k donada per
φ (a,·) : E → k
x → φ (a,·)
''Definició'': El punt A és simple aplicació lineal φ (a,·) és diferent de zero.
Observem que això equival a dir dim Im φ (a,·) = 1, o dim ker φ (a,·) = n. En aquest cas es diu que la varietat lineal projectiva
TAQ= p(ker φ (a,·))
és l’hiperplà tangent a Q per A. Tant la definició de punt simple com d’hiperplà tangent no depenen del respresentant a de A elegit.
==Coordenades==
Fixem una base. Si
q(x) = ∑_ij〖 b^ij x^i x^j 〗, (bij = bji )
És l’expressió de la forma quadràtica associada a φ , tenim
δq/(δx^i ) (a) = 2 ∑_j〖 b_ij a^j 〗
o matricialment
grad q(a)= 2 φa,
on ara φ denota la matriu (bij) i a el vector columna format per les coordinades de a en la base fixada.
Per tant
Ker φ (a,·)= { x Є E; xt φa = 0} = { x Є E; xt · grad q(a) =0}
i l’equació de l’hiperplà tangent Q en el punt A = p(a) és
x0δq/(δx^0 )(a) + ... + xnδq/(δx^n )(a)= 0
Si A és simple aquesta equació representa un subespai vectorial vectorial de dimensió n, la qual cosa vol dir que almenys una de les derivades parcials és diferent de zero.
==Teoremes==
'''Teorema 1'''
El punt A = p(a) de la quadràtica Q = {p(x): φ(x,x) = 0}.
En particular, el fet de que grad q(a) sigui o no zero, no depèn de la base elegida per escriure q i calcular les derivades parcials.
'''Teorema 2'''
Sigui Q la quadràtica associada a la forma bilineal simètrica φ. Llavors det φ≠0 si i només si tots els punts de la quadràtica són simples.
Observei que si A és un punt múltiple (és a dir, grad q(a) = 0), llavors el sistema lineal
Admet (a0, ..., an) com a solució no trivial, i per tant det φ≠0.
Recíprocament, si det φ≠0 , existeix una solució no trivial a del sistema anterior. Per tant tindrem φa= gradq(a)· a = 0. Però, com que
Q(a) = ∑_ij〖 b^ij a^i a^j 〗 = 1/(2 ) ∑δq/(δx^i ) (a) · ai = 1/(2 ) grad q(a) · a = 0,
Resulta que A és un punt (múltiple) de la quàdrica, i tenim el resultat buscat.
L’expressió 2q(x) = x·grad q(x) que ha aparegut en calcular, es coneix per fórmula d’[[Euler]]
'''Teorema 3'''
Sigui A= p(a) un punt simple de la quàdrica Q,. Tota recta per A continguda a TAQ o bé està totalment continguda a Q,(si Q, és cònica, aquest cas es dóna únicament quan Q, consta de dues rectes que es tallen en un punt diferent de A) o talla Q, únicament en A. En aquest cas ho fa amb multiplicitat 2. Tota recta per A que no pertanyi a TAQ talla Q en A amb multiplicitat 1.
Demostració: Sigui B = p(b) un punt arbitrari. La intersecció de la recta AB amb la quadràtica Q està donada per l’equació φ( a+ sb, a+ sb) = 0, que escriure de la forma βs^2+ γs=0, β= φ(b,b), γ= 2 φ(a,b).
Si B Є TAQ , llavors γ=0, tenim dues possibilitats:
a) B Є Q . Llavors B=0, β=0 i ф(a + sb, a+sb)=0, ∀s,de manera que tota la recta AB pertany a Q
b)B no pertany a Q. Llavors B≠0 i l’equació anterior és simplement Bs2 =0 , és a dir s=0 (que correspon al punt A) és arrel amb multiplicitat 2.
Si B no pertany aQ, llavors γ≠0 i s=0 és arrel simple de Bs2 + γs=0 .
Si Q és una cònica, A E Q és simple i la recta TaQ està continguda a Q, agafem un sistema de referència projectiu tal que A=(1,0,0), B= (0,1,0) amb B un punt qualsevol de TaQ. Com que, per exemple, el punt (1,1,0) també pertany a la recta i a la cònica, l’expressió general d’aquesta
ax2 +y2+cz2+2dxy+2cxz+2fyz=0
queda reduïda a
x(cz+2ex++2fy)=0
que és doncs el producte de dues rectes que es tallen en (-f,e,0). Com que A és simple, e≠0, ja que gradq (a)= (0,0,2e), i per tant el punt d’intersecció és diferent de A.
[[Categoria:Geometria]]
| 