Radi de convergència: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot insereix {{ORDENA:Radi De Convergencia}}
Cap resum de modificació
Línia 44:
 
i això val per a tot real <math> x </math> per això el radi de convergència serà infinit.
 
=== Convergència en el límit ===
Si la sèrie de potències s'expandeix al voltant del punt A i el radi de convergència és r, llavors el conjunt de tots els punts z tals que | z - a | = r és un cercle anomenat la frontera del disc de convergència. Una sèrie de potències poden diferir en cada punt de la frontera, o diferir en alguns punts de convergència i en altres punts, o convergir en tots els punts de la frontera. A més, encara que la sèrie convergeixi en el límit, no necessàriament convergeixi absolutament.
 
Exemple 1: La sèrie de potències per a la funció F(z) = (1 - z) -1, es va expandint al voltant de z = 0, té un radi de convergència 1 i divergeix a cada punt de la frontera.
 
Exemple 2: La sèrie de potències per G(z) = ln (1 - z) té radi de convergència r = 1 i s'estén per tot z = 0, i divergeix per z = 1, però convergeix per a tots els altres punts de la frontera. F(z) en l'exemple 1 és la derivada de la negativa de G(z).
 
Exemple 3: La sèrie de potències
:<math> \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} z^n </math>
té radi de convergència 1 i convergeix a tot arreu de la frontera. Si H(z) és la funció representada per aquesta sèrie, llavors la derivada de H(z) és G(z), dividit per Z en l'exemple 2.
 
Exemple 4: La sèrie de potències
:<math>\sum_{i=1}^\infty a_i z^i \text{ on } a_i = \frac{(-1)^{n-1}}{2^nn}\text{ per }2^{n-1}\le i < 2^n.</math>
té radi de convergència 1 i convergeix uniformement a la frontera {| z | = 1}, però no convergeix absolutament a la frontera.
 
== Vegeu també ==