Diferència entre revisions de la pàgina «Fibrat»

1.468 octets eliminats ,  fa 10 anys
cap resum d'edició
En [[topologiageometria]], un ''' fibrat ''' (o ''' fesfeix fibrat ''') és una [[Funció matemàtica|funció]] [[contínua]] [[suprajectiva]] π, d'un [[espai topològic]] '' V '' a un altre [[espai topològic]] '' B '', satisfentque satisfà una altra condició que ho fa d'una manera particularment simple localment. Introduint un altre espai topològic ''F'', utilitzem la funció de projecció de '' B '' x× '' F '' → '' B '' com a model. Per exemple en el cas d'un [[fibrat vectorial]], '' F '' és un [[espai vectorial]] sobre els nombres reals.
 
== Definició ==
Un ''' fibrat ''' consisteix en ununa quaternalquaterna <math> (E, B,\pi, F)\, </math>, on <math> ''E\'', </math>, <math> ''B\, </math>'' i <math> ''F\, </math>'' són [[varietat]]s i <math>\pi: E\longrightarrow B </math> és una [[funció contínua|aplicació contínua]] i [[funció suprajectiva|suprajectiva]], de manera que s'ha de complir que perqualsevol a qualsevolelement <math> x\in B\, </math> hi ha un entorn <math> U_{\alpha}\, </math> adins <math>de ''B\, </math>'', tal que <math>\pi^{-1}(U_{\alpha})\, </math> és [[homeomorf]] a <math> U_{\alpha}\times F\, </math >, d'una manera que <math>\pi\, </math> transporta a la projecció sobre el primer factor (és a dir, si <math> p: U_{\alpha}\times F\longrightarrow U_{\alpha}</math> és la projecció sobre <math> U_{\alpha}\, </math>; ie,satisfà <math> p (i, f) = i\, </math> qualsevol que siguin <math> i\in U_{\alpha}\, </math> i <math> f\in F\, </math>). A més s'exigeix que <math>\phi_{\alpha}:\pi^{-1}(U_{\alpha})\longrightarrow U_{\alpha}\times F </math> sigui un [[Homeomorfismehomeomorfisme]]. Així <math>\pi = p\circ\phi_{\alpha}</math>.
 
<div style="text-align: center;">
 
 
<math>La varietat ''B\, </math>'' es diu eldenomina ''' espai de base ''' del fibrat, <math> ''E\,'' </math>es diu l'''' espai total ''', per a qualsevoltota <math> x\in B\, </math>, el conjunt <math>\pi^{-1}(x)\, </math> es diu la '''[[fibra]] En <math>en ''x\, </math>''''' i la funció <math>\pi\, </math> s'anomena la '''funció de projecció'''.
 
== Exemples ==
Cada funció de projecció natural '' p '': '' B '' x× '' F '' → '' B '' és un fibrat. Els fibrats com aquests es diuen els ''' fibrats trivials '''. Un exemple estàndard, localment trivial però no (globalment) trivial és la [[Bandabanda de Möbius]] com '' L '', en la qual '' B '' es pot prendre com un cercle i ''F'' un segment de línia. LLa ''' torçada '' ade la cinta és evident només globalment, mentre que localment l'estructura de la cinta defineix la topologia. Cada [[fibrat vectorial]] és un fibrat; aquí '' F '' és un [[espai vectorial]] sobre els nombres reals. Per qualificar com fibrat vectorial, les transicions que relacionen lesels veïnatgesentorns localment trivialitzartrivials hauran de ser lineals també. Cada [[espai recobridoresrecobridor]] (en anglès '' covering space '') és un fibrat, aquí l'espai fibra '' F '' és [[discret]].
 
Cada fibrat ''π'': '' L '' → '' B '' és una [[funció oberta]], ja que les projeccions de productes cartesians són funcions obertes.
 
== Seccions ==
Una [[secció (matemàtiques)|secció]] d'un fibrat és una funció contínua, '' f '': '' B '' → '' e E'' tal que '' π ''(''f ''(''x'')) = ''x '', per a tot element '' x '' ade '' B ''. Com que els fibrats en general no tenen seccions, un dels propòsits de la teoria és explicar la seva existència. Això condueix a la teoria de les [[classe característica|classes característiques]] a [[topologia algebraica]].
 
== Grup estructural ==
Hi ha, de vegades, un [[grup topològic]] '' G '' de transformacions de '' L '', tal que si '' ρ '' denota l'acció, '' π (ρ (g) [e]) = π (i) '' per '' g '' a '' G '' i '' i '' a '' L ''. La condició indica que cada [[òrbita (matemàtiques)|G-òrbita]] resideix dins d'una sola fibra. En aquest cas, '' G '' es diu [[grup (matemàtiques)|grup]] estructural del fibrat. Per qualificar com '' G ''-fibrat, les condicions que s'aparellen entre les veïnatges trivialitzar locals haurien de ser [[els Intertwined]] s de [[acció del grup|G-accions]] també.
 
Si, a més, actua '' G '' [[acció del grup|lliurement]], [[acció del grup|transitivament]] i [[continu|contínuament]] sobre cada fibra, aleshores anomenem l'fibrat ''' fibrat principal de '''. Un exemple d'un fibrat principal que passa naturalment en geometria és el fibrat de totes les bases dels [[espai tangent|espais tangents]] a una [[varietat]], amb '' G '' [[grup general lineal]], la restricció en [[geometria de Riemann]] a les bases ortonormals, limitaria G al [[grup ortogonal]]. Vegeu [[vierbein]] per a més detalls.
 
Fer '' G '' explícit és essencial per a les operacions de crear un [[fibrat associat]], i fer necessària la [[reducció del grup estructural d'un fibrat]].
 
== Aplicacions ==
Un dels usos primaris dels fibrats és a les [[teoria de gauge|teories de calibre]].
 
== Vegeu també ==
* [http://mathworld.wolfram.com/FiberBundle.html MathWorld: Fiber Bundle]
 
[[Categoria:TopologiaGeometria]]
 
[[de:Faserbündel]]