Revisió del 12:07, 2 maig 2011 modifica Luckas-bot (discussió \| contribucions) Bots 299.712 edits m r2.7.1) (Robot afegeix: ar:هندسة زائدية ← Edició anterior		Revisió del 18:17, 6 maig 2011 modifica desfés Pieter (discussió \| contribucions) 333 edits m →‎Paral·leles en la geometria hiperbòlica: intersectar és incorrecte; el verb és intersecar Edició següent →
Línia 19: [[fitxer: Hyperbolic.jpg\|frame\|right\|Rectes que passen per P i són hiperparalelas a R]] [[fitxer: Hyperbolic triangle.svg\|263px\|thumb\|right\|Un triangle en un pla amb forma d'una cadira de muntar (un [[paraboloide hiperbòlic]]), així com dues rectes paral·leles divergents.]] El [[axioma de Bolyai]], equivalent al [[cinquè postulat d'Euclides]] sobre les rectes paral·leles diu que «'' donada una recta '' r '' i un punt '' P '' extern a ella, hi ha una i només una recta que passa per '' P '' que no ~~intersecta~~interseca a 'r '''' ». Comunament, la recta que posseeix aquesta qualitat rep el nom de "paral·lela" a través de P. En geometria hiperbòlica, aquest postulat és fals perquè sempre hi ha almenys dues rectes diferents que passen per P i les quals no s'~~intersecten~~intersequen a r. De fet per la geometria hiperbòlica és possible demostrar una interessant propietat: hi ha dues classes de rectes que no s'intersequen a la recta r. Sigui B un punt que pertany ar tal que la recta PB és perpendicular a r. Penseu en la recta l que passa per P, tal que l no interseca ary l'angle theta entre PB il (en sentit contrari a les agulles del rellotge, des PB) és el més petit possible (és a dir, qualsevol angle més petit que theta, forçarà a la recta a intersecar ar). Aquesta (l), és anomenada ''' [[recta hiperparalela]] ''' (o simplement, recta paral·lela) en la geometria hiperbòlica. En forma similar, la recta m que forma el mateix angle theta entre PB i ella mateixa, però ara en sentit de les agulles del rellotge des de PB, també serà hiperparalela, però no poden haver altres. Totes les altres rectes que passen per P i que no s'~~intersecten~~intersequen ara r, i formen angle més gran que theta amb PB i són anomenades ''' rectes ultraparalelas ''' (o ''' rectes disjuntes paral·leles '''). Recordeu que, en haver un nombre infinit de ángulos possibles entre θ i 90 º, cadascun d'aquests determinarà dues rectes que passen per P i que són disjuntes paral·leles ar, tindrem llavors, un nombre infinit de rectes ultraparalelas. Per tant, tenim aquesta forma modificada del Postulat de les Rectes Paralelas: «'' En geometria hiperbòlica, donada una recta '' r '' i un punt '' P '' exterior a '' r '' hi ha exactament dues rectes que passen per '' P '', les quals són hiperparalelas a '' r '', i infinites rectes que passen per '' P '' i són ultraparalelas a '' r ''' ». Les diferències entre rectes hiperparalelas i ultraparaleas, també poden ser vistes de la següent manera: la distància entre rectes hiperparalelas tendeix a zero mentre un s'allunya infinitament de PB per la recta R. No obstant això, la distància entre rectes ultraparalelas no tendeix a zero si un s'allunya infinitament de PB per la recta r. L'angle de paral·lelisme en la geometria euclidiana és una constant, és a dir, qualsevol longitud BP, determinarà un angle de paral·lelisme igual a 90 graus. A la geometria hiperbòlica, l'angle de paral·lelisme varia amb la qual és anomenada la funció Π (p). Aquesta funció, descrita per [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky]], produeix un angle únic de paral·lelisme per a cada longitud donada BP. Mentre la longitud BP es faci més petita, l'angle de paral·lelisme s'acostarà a 90 º. Si la longitud BP s'incrementa sense límits, l'angle de paral·lelisme s'acostarà a zero. Recordeu que, a causa d'aquest fet, mentre les distàncies es facin més petites, el pla hiperbòlic es comportarà cada vegada més com la [[Geometria euclidiana]]. Per tant, a petites escales, un observador en el pla hiperbòlic tindrà dificultats per adonar-se que les distàncies no es troben en un pla euclidià.

Geometria hiperbòlica: diferència entre les revisions