|
[[Fitxer:FibonacciBlocks.svg|thumb|right|180px|Un enrajolat amb quadrats els costats dels quals tenen una longitud de nombres de Fibonacci successius]]
[[Fitxer:Golden spiral in rectangles.png|right|thumb|Una espiral de Fibonacci, creada dibuixant arcs que connecten les cantonades oposades de quadrats de l'enrajolament de Fibonacci, mostrat al gràfic anterior. És la denominada [[espiral daurada]].]]
La '''successió de Fibonacci''' és una [[successió]] de [[nombre natural|nombres naturals]] tal que cada un dels seus termes és igual a la suma dels dos anteriors.
== Definició ==
Prenguem una successió de nombres naturals de tal forma que els dos primers termes siguin
:''F''(0) = 0
:''F''(1) = 1
i cadascun dels següents termes és la suma dels dos anteriors:
:''F''(''n'') = ''F''(''n''-2) + ''F''(''n''-1)
Aquesta succesió és definida per [[recursivitat]] com:
:<math>
F(n)=
\left\{
\begin{matrix}
0\,,\qquad\qquad\qquad\quad\,\ \ \,&&\mbox{si }n=0\,;\ \ \\
1,\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&\mbox{si }n=1;\ \ \,\\
F(n-1)+F(n-2)&&\mbox{altrament.}
\end{matrix}
\right.
</math>
Aquesta successió és l'anomenada ''Successió de Fibonacci'', descrita per primera vegada per [[Leonardo de Pisa]] (àlies Fibonacci) i cadascun dels seus termes rep el nom de ''nombre de Fibonacci''.
Els vint primers termes d'aquesta successió són:
{| border="0" cellpadding="2" cellspacing="1" align="center"
|-----
| ''n'' || || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6
| 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16
| 17 || 18 || 19 || 20
|-----
| <strong>''F''(''n'')</strong> ||
| <strong>1</strong>
| <strong>1</strong> || <strong>2</strong>
| <strong>3</strong>
| <strong>5</strong> || <strong>8</strong>
| <strong>13</strong>
| <strong>21</strong> || <strong>34</strong>
| <strong>55</strong>
| <strong>89</strong> || <strong>144</strong>
| <strong>233</strong>
| <strong>377</strong> || <strong>610</strong>
| <strong>987</strong>
| <strong>1597</strong> || <strong>2584</strong>
| <strong>4181</strong> || <strong>6765</strong>
|}
==Propietats==
La successió de Fibonacci té moltes i molt variades propietats. Vegem-ne algunes:
*La raó (el quocient) entre un terme i l'immediatament anterior varia tota l'estona, però tendeix cap a un [[nombre irracional]] conegut com "raó àuria" o [[nombre auri]], que és la solució positiva de l'equació ''x''<sup>2</sup>-''x''-1=0, i es pot aproximar per 1,618033989. I, en efecte, la raó entre el 20è i el 19è terme és 1,618033963, sent la diferencia de només vint-i-sis milmilionèssimes.
*A més, qualsevol [[nombre natural]] es pot escriure mitjançant la suma d'un nombre limitat de termes de la successió de Fibonacci, cadascun d'ells distint als altres. Per exemple, 17=13+3+1, 65=55+8+2.
*D'altra banda, només un terme de cada tres és parell, un de cada quatre és múltiple de 3, un de cada cinc és múltiple de 5, etc. Això es pot generalitzar, de forma que la successió de Fibonacci és periòdica en les congruències mòdul ''m'', per a qualsevol ''m''.
*Si ''F''(''p'') és un [[nombre primer]], ''p'' també és primer, amb una única excepció: ''F''(4)=3, 3 és primer, però 4 no ho és.
*La suma infinita dels termes de la successió ''F''(''n'')/10<sup>n</sup> és exactament 10/89.
==Enllaços externs==
*[http://video.google.com/videoplay?docid=7179950432887640376 Fibonacci and the Golden Mean] Vídeo on s'explica, de forma visual, la relació entre la successió de Fibonacci i el nombre d'or, a més d'altres propietats. {{en}}
[[Categoria:Teoria de nombres]]
[[ar:متتالية فيبوناتشي]]
[[az:Fibonaççi ədədləri]]
[[bg:Числа на Фибоначи]]
[[bn:ফিবোনাচ্চি রাশিমালা]]
[[bs:Fibonaccijev broj]]
[[cs:Fibonacciho posloupnost]]
[[da:Fibonacci-tal]]
[[de:Fibonacci-Folge]]
[[el:Ακολουθία Φιμπονάτσι]]
[[en:Fibonacci number]]
[[eo:Fibonaĉi-nombro]]
[[es:Sucesión de Fibonacci]]
[[et:Fibonacci jada]]
[[eu:Fibonacciren zenbakiak]]
[[fa:اعداد فیبوناچی]]
[[fi:Fibonaccin lukujono]]
[[fr:Suite de Fibonacci]]
[[ga:Seicheamh Fibonacci]]
[[gv:Straih Fibonacci]]
[[he:סדרת פיבונאצ'י]]
[[hi:हेमचन्द्र श्रेणी]]
[[hr:Fibonaccijev broj]]
[[hu:Fibonacci-számok]]
[[id:Bilangan Fibonacci]]
[[is:Fibonacci-runa]]
[[it:Successione di Fibonacci]]
[[ja:フィボナッチ数]]
[[kaa:Fibonachchi sanları]]
[[ko:피보나치 수]]
[[la:Numeri Fibonacciani]]
[[lt:Fibonačio skaičius]]
[[lv:Fibonači skaitļi]]
[[ml:ഫിബനാച്ചി ശ്രേണി]]
[[mn:Фибоначчийн тоо]]
[[ms:Bilangan Fibonacci]]
[[nl:Rij van Fibonacci]]
[[nn:Fibonaccifølgja]]
[[no:Fibonaccitall]]
[[pl:Ciąg Fibonacciego]]
[[pms:Sequensa ëd Fibonacci]]
[[pt:Número de Fibonacci]]
[[ro:Numerele Fibonacci]]
[[ru:Числа Фибоначчи]]
[[scn:Succissioni di Fibonacci]]
[[si:ෆිබොනාච්චි සංඛ්යා]]
[[simple:Fibonacci number]]
[[sk:Fibonacciho postupnosť]]
[[sl:Fibonaccijevo število]]
[[sq:Numrat e Fibonaccit]]
[[sr:Фибоначијев низ]]
[[sv:Fibonaccital]]
[[ta:ஃபிபனாச்சி எண்கள்]]
[[th:เลขฟีโบนัชชี]]
[[tr:Fibonacci dizisi]]
[[uk:Послідовність Фібоначчі]]
[[uz:Fibonachchi sonlari]]
[[vi:Dãy Fibonacci]]
[[vls:Reke van Fibonacci]]
[[zh:斐波那契数列]]
| 