Matriu hessiana: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació
Cap resum de modificació
Línia 21:
 
==Simetria de la matriu Hessiana==
EnSeguint el teorema de Young, en el cas que la funció ''f'' definida com
:<math>f \colon A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>
tingui derivades parcials contínues per qualsevol punt del domini <math>\mathbb{R}^n</math>obert ''A'', per exemple, prenguem el punt <math>(a_1, a_2,..., a_n)</math>, llavors, segons el [[teorema de Clairaut]], per qualsevol <math>1<i,j<n</math> tenim que:
:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).</math>
i per tant, l'ordre de derivació per obtenir derivades segones parcials no importa. En conclusió, donades aquestes circumstàncies, la matriu Hessiana de ''f'' és una [[matriu simètrica]].
 
==Aplicació de la matriu Hessiana==
===Concavitat/Convexitat===
Sigui <math>A \subseteq \mathbb{R}^n</math> un conjunt obert i <math>f \colon A \to \mathbb{R}</math> una funció amb derivades segones contínues:
 
# ''f'' és '''còncava''' si, i només si, <math>\forall a \in A</math>, la matriu Hessiana ''H<sub>f</sub>(a)'' és ''semidefinida negativa''.
# Si <math>\forall a \in A</math> la matriu Hessiana ''H<sub>f</sub>(a)'' és ''definida negativa'', llavors f és '''estrictament còncava'''.
:* Si ''f'' és una funció còncava, llavors qualsevol punt en què totes les derivades parcials són zero, és un '''màxim''' global.
# ''f'' és '''convexa''' si, i només si, <math>\forall a \in A</math>, la matriu Hessiana ''H<sub>f</sub>(a)'' és ''semidefinida positiva''.
# Si <math>\forall a \in A</math> la matriu Hessiana ''H<sub>f</sub>(a)'' és ''definida positiva'', llavors f és '''estrictament convexa'''.
:* Si ''f'' és una funció convexa, llavors qualsevol punt en què totes les derivades parcials són zero, és un '''mínim''' global.
 
===Mètode per trobar punts crítics===
Es veurà a continuació com trobar els punts crítics (màxims, mínims i punts de sella) d'una funció ''f'' de múltiples variables.
# S'igualen les derivades parcials primeres a zero.
# Es resolen les equacions anteriors i se'n obtenen les coordenades dels punts crítics.
# Es construeix la matriu Hessiana (derivades segones parcials).
# Segons els valors dels menors preferents dominants de la matriu Hessiana avaluades als diferents punts crítics. aquests punts poden ser:
:* '''Màxim''': si la matriu Hessiana en el punt és ''definida negativa'' (tots els menors preferents dominants són diferents de 0 i, a més, alternen en signe, essent el primer negatiu).
:* '''Mínim''': si la matriu Hessiana en el punt és ''definida positiva'' (tots els menors preferents dominants són més grans que 0).
:* '''Punt de Sella''': si la matriu Hessiana en el punt és ''indefinida'' (no definida o semidefinida positiva ni definida o semidefinida negativa).
==Vegeu també==
* [[Jacobià]]