Tensor de Ricci: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot insereix {{ORDENA:Tensor De Ricci}}
m r2.7.2) (Robot modifica: ko:리치 곡률 텐서; canvis cosmètics
Línia 1:
En [[geometria diferencial]], el '''tensor de curvatura de Ricci''' (anomenat així a partir de [[Gregorio Ricci-Curbastro]]) és un [[tensor]]—(0,2)—bivalent, obtingut com una [[traça]] del [[tensor de curvatura]] complet. El tensor de Ricci es pot representar segons els [[vector (física)|vectorvectors]]s ''u'' i ''v'', usualment representat per ''Ric''(''u'',''v'') i es pot definir com a la traça de l'[[endomorfisme]]
:<math>w \mapsto R(w,v)u</math>
on ''R'' és el [[tensor de curvatura de Riemann]]. En [[coordenada local|coordenades locals]], es pot escriure (fent servir la [[notació d'Einstein]])
Línia 6:
:<math>R_{ij} = {R^k}_{ikj}</math>.
 
És a dir, es pot expressar com a un [[laplacià]] del tensor [[mètrica de Riemann|mètric riemanià]] en el cas de les [[Varietat (matemàtiques)|varietatvarietats]]s de Riemann. En dimensions 2 i 3 el [[tensor de curvatura]] és determinat totalment per la curvatura de Ricci.
 
Hom pot pensar en la curvatura de Ricci en una [[varietat de Riemann]] com un operador a l'espai tangent.
Línia 24:
que és un tensor (0,2).
 
== Aplicacions del tensor de curvatura de Ricci ==
 
La curvatura de Ricci es pot utilitzar per a definir les [[classes de Chern]] d'un varietat, que són invariants topològics (per tant independents de l'elecció de la mètrica). La curvatura de Ricci també s'utilitza en el [[flux de Ricci]], on una mètrica és deformada en la direcció de la curvatura de Ricci. En superfícies, el flux produïx una mètrica de [[curvatura de Gauss]] constant i se segueix el [[teorema d'uniformització]] per a les superfícies. La curvatura de Ricci ocupa un paper important en [[relativitat general]], on és el terme dominant en les [[equacions de camp d'Einstein]].
 
== Topologia global i la geometria de curvatura de Ricci positiva ==
 
El [[teorema de Myers]] estableix que si la curvatura de Ricci és limitada per baix en una varietat completa de Riemann per <math>\left(n-1\right)k > 0 \,\!</math>, llavors el seu diàmetre és <math>\le \pi/\sqrt{k}</math>, i la varietat ha de tenir un [[grup fonamental]] finit. Si el diàmetre és igual a <math>\pi/\sqrt{k}</math>, llavors la varietat és [[isomètric|isomètrica]]a a una esfera de curvatura constant ''k''.
 
La [[desigualtat de Bishop-Gromov]] estableix que si la curvatura de Ricci d'una varietat ''m''-dimensional completa de Riemann és &ge;0≥0 llavors el volum d'una bola és més petit o igual al volum d'una bola del mateix ràdi en el ''m''-espai euclidià. Más encara, si <math>vp(R)</math> denota el volum de la bola amb centre ''p'' i radi <math>R</math> en la varietat i el <math>V(R)=cm R^m</math> denota el volum de la bola de radi ''R'' en el ''m''-espai euclidià llavors la funció <math>vp(R)/V(R)</math> és no creixent. (l'última desigualtat es pot generalitzar a una cota de curvatura arbitrària i és el punt dominant en la prova d' [[El teorema de compacitat de Gromov]].)
 
El [[teorema de partició de Cheeger-Gromoll]] indica que si una varietat completa de Riemann amb el Ricc &ge;0≥0 té una línia recta (és a dir una geodèsica minimitzant infinita a ambdós costats, això és una geodèsica &gamma;γ tal que <math>d(\gamma(u),\gamma(v))=|u-v|</math> per tots els <math>v,u\in\mathbb{R}</math>)) llavors és isomètrica a un espai '''R''' x ''L'', on ''L'' és una varietat de Riemann.
 
Tots els resultats de dalt demostren que la curvatura de Ricci positiva té cert significat geomètric, en contrari, la curvatura negativa no és tan restrictiva, en particular com va ser demostrat per [[Joachim Lohkamp]], qualsevol varietat admet una mètrica de curvatura negativa.
Línia 42:
 
{{ORDENA:Tensor De Ricci}} <!--ORDENA generat per bot-->
 
[[Categoria:Geometria]]
[[Categoria:Relativitat]]
Linha 51 ⟶ 52:
[[it:Tensore di curvatura di Ricci]]
[[ja:リッチテンソル]]
[[ko:리치 곡률 텐서]]
[[nl:Ricci-tensor]]
[[pt:Tensor de curvatura de Ricci]]