|
== Definició ==
Si ens limitem al conjunt dels [[nombre real|nombres reals]], una sèrie de la forma <math> \sum_{n = 0}^\infty a_n (x-x_0)^n </math>, amb < math> a_n, x, x_0 \in \mathbb{R}</math>,
rep el nom de sèrie de potències centrada en '''<math> x_0 </math >'''. La sèrie [[convergència absoluta|convergeix absolutament]] per a un conjunt de valors ded<nowiki>'</nowiki>'''<math> x </math>''' que verifica que '''<math>|x-x_0|<r </math >''', on '''r''' és un nombre real anomenat '''radi de convergència''' de la sèrie. Aquesta convergeix, doncs, si més no, per als valors d<nowiki>'</nowiki>'''<math> X </math>''' pertanyents a l'interval '''<math> (x_0-r, </math>''' '''<math> x_0 + r) </math>''', ja que la convergència per als extrems d'aquest ha d'estudiar a part, de manera que l'interval real de convergència pot ser també semiobert o tancat. Si la sèrie convergeix només per '''<math> x_0 </math >''', ''' <math> r = 0 </math >'''. Si ho fa per qualsevol valor d<nowiki>'</nowiki>'''<math> x </math >''', ''' <math> r = \infty \, \! </math>'''
'''<math> X </math>''' pertanyents a l'interval'''<math> (x_0-r, </math>''''''<math> x_0 r) </math>'' ', ja que la convergència per als extrems d'aquest ha d'estudiar a part, de manera que l'interval real de convergència pot ser també semiobert o tancat. Si la sèrie convergeix només per'''<math> x_0 </math >''',''' <math> r = 0 </math >'''. Si ho fa per qualsevol valor de'''<math> x </math >''',''' <math> r = </math>'''''' <math> \infty \, \! </math>'''
== Exemples ==
<math> \frac{1}{1-0,25}= \frac{1}{1 - \frac{1}{4}}= \frac{4}{3}</math>.
Però si prenem un element fora del radi de convergència, per exemple el <math> x = 2 </math>, els més probable és que al reemplaçar en la sèrie, aquesta divergeixi (per això el nom de ràdioradi de convergència). Efectivament:
<math> \sum_{n = 0}^\infty 2^n = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 ...= \infty </math>.
=== Distància a la singularitat ===
El càlcul del radi de convergència no és simple. Vegem una funció amb dos desenvolupaments en sèrie amb diferents centres i analitzem lesels sevesseus ràdiosradis de convergència. La mateixa funció <math> 1/(1-x) </math> en el seu desenvolupament amb centre <math> x_0 = 3 </math> té la forma:
<math> \frac{1}{1-x}= \frac{1}{2}- \frac{x-3}{4}\frac{(x-3)^2}{8}- \frac{(x-3)^3}{16}...</math>.
<math> \frac{1}{1 x^2}= \frac{1}{2}- \frac{x-1}{2}\frac{(x-1)^2}{4}- \frac{(x-1)^4}{8}\frac{(x-1)^5}{8}-...</math>
Com que no hi ha singularitats reals podria suposar-se que el radi és infinit, però el seu radi de convergència és'''<math> r = \sqrt{2}/2 </math >'''. Aquest ràdioradi sembla capritxós però té a veure amb el fet que passant la funció a domini complex, hi ha una singularitat en el denominador.La sèrie
=== Radi de convergència infinit ===
Per exemple, la funció <math> ie^{x}</math> pot desenvolupar-se en sèries de potència de <math> x-0 = x </math>, de fet
<math> ie^{x}= \sum_{n = 0}^\infty x^n/n! = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}...</math>.
i això val per a tot real <math> x </math> per això el radi de convergència serà infinit.
té radi de convergència 1 i convergeix uniformement a la frontera {| z | = 1}, però no convergeix absolutament a la frontera.
==Comentaris en el rati de convergenciaconvergència==
Si expandim la funció
:<math>f(x)=\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ per tot } x</math>
propers al punt ''x'' = 0, ens trobem que el radi de convergenciaconvergència d'aquestes series es <math>\scriptstyle\infty</math> que significa que aquestes series convergeixen per tots els nombres complexes. Però, a la pràctica, ens pot interesarinteressar la precisió de l'[[Anàlisi numèrica]]. Tant el nombre de termes com el valor quan les series son evluadesavaluades afecten a l'exactitud de la resposta. Per exemple, si volem calcular ƒ(0.1) = sin(0.1) amb una exactitud de 5 decimals, nomes necessitem els dos primers termes de la serie. En canvi, si volem la mateixa precisió per ''x'' = 1, hem d'avaluar i sumar els 5 primers termes de la serie. Per ƒ(10), requerim 18 termes de les series, i per ƒ(100), necessitem evaluaravaluar 141 termstermes.
Aixi doncs la convergenciaconvergència mes ràpida en una expansió de series de potencies es troba al centre del radi de convergenciaconvergència, i si ens allunyem del radi de convergenciaconvergència, el [[rati de convergenciaconvergència]] es fa lent fins que arribes al limit (si existeix) i l'atravesael travessa, en aquest cas les series divergeixen.
== Vegeu també ==
| 