Diferència entre revisions de la pàgina «Fórmula de Brahmagupta»

cap resum d'edició
m (Robot: Reemplaçament automàtic de text (-[[Image: +[[Fitxer:))
 
== Forma Bàsica ==
En la seva forma més bàsica i més fàcil de recordar, la fórmula Brahmagupta dóna l'àrea d'un quadrilàter amb costats de longituds '' a '', '' b '', '' c '', '' d '', sempre i quan el quadrilàter sigui cíclic (els seus quatre vèrtexs estiguin sobre una mateixa circumferència):
 
: <math> Area = \sqrt{(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}</math>
on '' s '', és el [[semiperímetre]], així:
 
: <math> S = \frac{a bc +b+c+d}{2}\cdot </math>
 
: <math> S-a = \frac{-a bc +b+c+d}{2}</math>
: <math> S-b = \frac{a-b +c +d}{2}</math>
: <math> S-c = \frac{a +b-c +d}{2}</math>
: <math> S-d = \frac{a +b +c-d}{2}</math>
 
Aquesta fórmula generalitza la [[fórmula d'Heró]] per a l'àrea d'un [[triangle]]. De fet, la fórmula d'Heró poden derivar de la fórmula de Brahmagupta al permetre acostar-se a un valor de zero. Un triangle pot ser considerat com un quadrilàter amb un costat de longitud zero. Des d'aquesta perspectiva, com '' Dd '' tendeix a zero, un quadrilàter cíclic convergeix en un triangle cíclic (tots els triangles són cícliquescíclics), i la fórmula de Brahmagupta convergeix en la fórmula d'Heró.
 
L'afirmació que l'àrea del quadrilàter és donada per la fórmula de Brahmagupta és equivalent a l'afirmació que és igual a
 
: <math> \frac{\sqrt{(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)^2 +8abcd-2 (a^4 +b^4+ c^4 +d^4)}}{4}\cdot </math>
 
fórmula de Brahmagupta pot ser vista com una fórmula de mediació longitud dels costats, sinó que també dóna a la zona com una fórmula en l'altura des del centre cap als costats, encara que si el quadrilàter no conté el centre, l'altitud al costat més llarg ha de ser presa com a negativa.
== Extensió als Quadrilàters no cíclics ==
 
En el cas dels quadrilàters cíclics no, la fórmula de Brahmagupta pot estendre's en considerar les mesures de dos costatsangles oposats del quadrilàter
 
: <math> \sqrt{(sas-a) (sbs-b) (scs-c) (sds-d)-abcd \cos^2 \theta}</math>
 
on θ és la meitat de la suma de dos angles oposats. (La parella és irrellevant: si es donen els altres dos angles, la meitat de la seva suma és el suplement de θ. Com que cos (180 ° - θ) =-cosq, tenim cos <sup> 2 </sup> (180 ° - θ) = cos <sup> 2 </sup> θ.) Es desprèn d'això que l'àrea d'un quadrilàter cíclic és l'àrea màxima possible per a qualsevol quadrilàter per unes longituds de costats donades.
Aquesta fórmula general es coneix de vegades com la fórmula de Bretschneider, però d'acord amb [http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html MathWorld] aquesta forma es deu sembla ser a [[Julian Coolidge|Coolidge]], l'expressió de Bretschneider va ser
 
: <math> \sqrt{(sas-a) (sbs-b) (scs-c) (sds-d) - \textstyle{1 \over4}(ac +bd+ pq) (ac+ bd-pq)}\, </math>
 
on '' p '' i '' q '' són les longituds de les diagonals del quadrilàter. Aquesta fórmula també demostra el Teorema de Ptolomeu.
 
És una característica dels quadrilàters cíclics (i en última instància, d'angles inscrits) que els angles oposats d'un quadrilàter sumen 180 °. En conseqüència, en el cas d'un quadrilàter inscrit, θ = 90 °, on el terme
Usuari anònim