Funció Lipschitz: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit
mCap resum de modificació
Línia 8:
* La condició de Lipschitz és una hipòtesi important per demostrar l'existència i unicitat de solucions per a les [[equació diferencial ordinària|equacions diferencials ordinàries]]. La condició de continuïtat de la funció per si sola ens assegura l'existència de solucions ([[Teorema de Peano]]), però per poder confirmar també la unicitat de la solució necessitem també la condició de Lipschitz ([[Teorema de Picard-Lindelof]]).
 
* Si '' U '' és un subconjunt del [[espai mètric]] '' M '' i '' f '': '' U '' → ''' R ''' és una funció Lipschitz contínua a valors reals, aleshores sempre hi ha una funció Lipschitz contínua '' M '' → ''' R ''' que estén '' f '' i té la mateixa [[constant matemàtica|constant]] Lipschitz que '' f ''. (veure també [[teorema de Kirszbraun]]).
 
* Una funció Lipschitz contínua '' f '': '' I '' → ''' R ''', on '' I '' és un [[interval (matemàtiques)|interval]] En ''' R ''', és [[gairebé per tot]] [[derivable|diferenciable]] (sempre, excepte en un conjunt de [[mesura de Lebesgue]] zero). Si '' K '' és la constant Lipschitz de '' f '', llavors|'' (f ') '' ('' x '')|≤ '' K '' atès que la derivada existeixi. Contràriament, si '' f '': '' I '' → ''' R ''' és una funció diferenciable amb derivada [[funció matemàtica|fitada]],|'' (f ') '' ('' x '')|≤ '' L '' per a tota '' x '' a '' I '', llavors '' f '' és Lipschitz contínua amb constant Lipschitz '' K '' ≤ '' L '', una conseqüència de l'[[teorema del valor mitjà]].