Producte Kronecker: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
El '''producte Kronecker''', denotat per ⊗ (<math>\otimes</math>) és una operació entre dues [[matriu (matemàtiques)|matrius]] d'una mida arbitrària que donen com a resultat una [[matriu en blocs]]. És un cas especial del [[producte tensorial]]. S'ha de distingir entre el producte Kronecker i la [[multiplicació de matrius]]. Són dues operacions completament diferents.
== Definició ==
Si ''A'' és una matriu de dimensions ''m'' per ''n'' i ''B'' és un matriu de dimensions ''p'' per ''q'', aleshores el producte Kronecker ''A''
Això es correspon
:<math> A \otimes B = \begin{
O més explícitament,
:<math>A \otimes B = \begin{pmatrix}
a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} &
\cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} &
\cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq}
\end{pmatrix}</math>
=== Exemples ===
Linha 79 ⟶ 98:
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
Linha 101 ⟶ 118:
El producte Kronecker és un cas especial del producte tensorial, i, per tant, és [[operador bilineal|bilineal]] i [[associativitat|associatiu]]:
:<math> A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C</math>
:<math> (A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C</math>
:<math> (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B), </math>
:<math> (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C), </math>
on ''A'', ''B'' i ''C'' són matrius i on ''k'' és un escalar.
El producte Kronecker no és [[operació commutativa|commutatiu]]: Això és, en general, ''A''
| |||