Cos de descomposició: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot posa l'article correcte a l'extensió |
m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) |
||
Línia 43:
* Supoant que el polinomi ''P''(X) sigui separable, el [[grup de Galois]] [[acció de grup (matemàtiques)|opera transitivament]] sobre el conjunt ''R'' de les arrels si, i només si, el polinomi és irreductible.<ref>Cette propriété provient de : A. et R. [[Adrien Douady|Douady]] ''Algèbre et théories galoisiennes'' Cassini 2005 p 307 {{ISBN|2842250052}}</ref>
En efecte, si ''P'' no és irreductible, existeixen dos polinomis ''P''<sub>1</sub> i ''P''<sub>2</sub> de grau estrictament positiu tals que ''P'' és igual a ''P''<sub>1</sub>.''P''<sub>2</sub>. Siguin α (resp. β) una arrel de ''P''<sub>1</sub> (resp. ''P''<sub>2</sub>) i σ un element del grup de Galois. El polinomi mínim de σ(α) és igual a ''P''<sub>1</sub>, el de β
Recíprocament si ''P'' és irreductible, siguin α i β dues arrels de ''P''. Sigui ''m'' el morfisme de ''K''(α), en ''K''(β) que a α li associa β. La penúltima proposició del paràgraf [[Extensió separable#Morfisme a la clausura algebraica|Morfisme a la clausura algebraica]] de l'article [[Extensió separable]] demostrarà que el morfisme de cos ''m'' es perllonga en un automorfisme σ del cos de descomposició. Existeix per tant un element σ del grup de Galois tal que σ(α) = β, el que demostra que el grup opera transitivament.
| |||