Criteri de divisibilitat: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) |
|||
Línia 36:
Peró tenint en compte la representació posicional del nombre i operant es pot escriure:
:<math>\begin{align}
& 0=(a_{0}+a_{1}\times \left( b\bmod p \right)+a_{2}\times \left( b^{2}\bmod p \right)+\ldots +a_{n}\times \left( b^{n}\bmod p \right))\bmod p \\
\end{align}</math>
Com que ''b''<sup>n</sup> mod ''p'' és més petit que ''p'' a partir d'un determinat valor de ''n'' els nombres que resulta d'aquesta expressió és molt més petit que ''z''. Això permetria construir un criteri de divisibilitat:
Un nombre ''z'' és divisible entre ''p'' si: <br>el nombre que s'obté com a resultat de sumar cada una de les seves xifres ''a''<sub>n</sub> multiplicada pel residu de dividir ''b''<sup>n</sup> entre ''p'', <br>és múltiple de ''p''.
Per aplicar aquest criteri aparentment caldria trobar el residu de dividir ''b''<sup>n</sup> entre ''p'' per a tot ''n''. La '''cinta de Pascal''' permet assegurar que això només cal fer-ho per una quantitat de valors que sempre és més petita que ''p''.
Línia 53:
:<math>\begin{align}
& =\left[ b\times \left( b^{m}\bmod p \right) \right]\bmod p \\
& =\left[ b\times \left( b^{n}\bmod p \right) \right]\bmod p \\
& =b^{n+1}\bmod p
\end{align}</math>
Línia 71:
Primer es trona la cinta de pascal:
:<math>\begin{align}
& 10^{2}\bmod 11=1 \\
& 10^{3}\bmod 11=10 \\
Línia 110:
:<math>\begin{align}
& 10^{2}\bmod 7=2 \\
& 10^{3}\bmod 7=6 \\
Línia 129:
Si ''z'' és múltiple de ''p'' llavors ha de ser:
:<math>\begin{align}
& =\left( a_{0}+z_{d}\times 10 \right)\bmod p \\
& =\left( a_{0}+z_{d}\times \left( 10\bmod p \right) \right)\bmod p \\
& =\left( 10\bmod p \right)^{-1}\times \left( a_{0}+z_{d}\times \left( 10\bmod p \right) \right)\bmod p \\
& =\left( \left( 10\bmod p \right)^{-1}\times a_{0}+z_{d}\times \left( 10\bmod p \right)\times \left( 10\bmod p \right)^{-1} \right)\bmod p \\
& =\left( \left( 10\bmod p \right)^{-1}\times a_{0}+z_{d} \right)\bmod p
\end{align}</math>
On <math>\left( 10\bmod p \right)^{-1}</math> és un nombre que multiplicat per <math>\left( 10\bmod p \right)</math> dóna 1 mod p.
Per tant es pot definir el següent criteri de divisibilitat:
Una nombre z en base 10 és divisible entre ''p'' si també ho és el resultat de: <br>sumar al nombre de desenes la xifra de les unitats
És evident que es pot fer un raonament anàleg en qualsevol altra base.
Línia 149:
Per tant un criteri de divisibilitat entre 7 per un nombre expresat en base deu seria:
Una nombre z en base 10 és divisible entre 7 si també ho és el resultat de: <br>sumar al nombre de desenes la xifra de les unitats
Per exemple per veure si 17.948 és múltiple de 7 s'aplica repetidament el criteri i s'obté:
1.794+5x8=1.834
Com que 35 és múltiple de 7 (35=7x5) llavors 17.948 també ho és.
Línia 163:
D'aquesta manera es pot definir el criteri:
Una nombre z en base 10 és divisible entre 7 si també ho és el resultat de: <br>restar al nombre de desenes la xifra de les unitats
En l'exemple anterior dóna:
1.794-2x8=1.778
==Taula de criteris de divisibilitat==
Línia 176:
Aquesta taula s'aplica si els nombres estan escrits en base 10.
{| border="0"
|-align="center" bgcolor="#CCCCCC"
! Divisibilitat entre :
Línia 239:
: 416-52136869+99864791-53682401 = -5954063 que és múltiple de 17 perquè
:: 595.406 - 5*3 = 595.391
::: 59539
:::: 5.953 - 5*4 = 5.933
::::: 593
:::::: 57
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 19 || Un nombre és divisible entre 19 si al sumar al nombre de desenes el doble de les unitats dóna un nombre que és múltiple de 19 ||
Línia 259:
|-
|}
En la següent taula, per una quants nombres primers més grans de 20,
{| border=1 align="center"
| |||