851.856
modificacions
Diferència entre revisions de la pàgina «Derivada segona»
m
Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + )
m (Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + )) |
|||
|
[[Fitxer:4 fonctions du second degré.svg|right|thumb|200px|La derivada segona d'una [[funció quadràtica]] és una [[funció polinòmica de grau zero|constant]].]]
En [[càlcul]], la '''derivada segona''' d'una [[funció matemàtica|funció]] ƒ és la [[derivada]] de la derivada de ƒ.
Sobre la [[gràfica d'una funció]], la segona derivada correspon a la [[curvatura]] o concavitat de la gràfica. La gràfica d'una funció amb derivada segona positiva es corba cap amunt, mentre la gràfica d'una funció amb derivada segona negativa es corva cap avall.
{{Principal|Notació de la derivada}}
La derivada segona d'una funció <math>f(x)\!</math> es nota normalment <math>f''(x)\!</math>.
:<math>f'' = (f')'\!</math>
=== Concavitat ===
La segona derivada d'una funció ƒ mesura la '''concavitat''' de la gràfica de ƒ.
=== Punts d'inflexió ===
{{Principal|Punt d'inflexió}}
Si la derivada segona d'una funció canvia de signa, el gràfic de la funció canviarà de còncava a convexa, o viceversa.
=== Test de la derivada segona ===
{{Principal|Test de la derivada segona}}
La relació entre la segona derivada i el gràfic es pot fer servir per provar si un [[punt estacionari]] d'una funció (i.e. un punt on <math>f'(x)=0\!</math>) és un [[màxims i mínims|màxim local]] o un [[màxims i mínims|mínim local]].
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math> llavors <math>\ f</math> té un màxim local a <math>\ x</math>.
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math> llavors <math>\ f</math> té un mínim local a <math>\ x</math>.
== Aproximació quadràtica ==
Igual com la derivada primera relaciona amb una [[aproximació lineal]] de la funció, la derivada segona es relaciona amb la millor [[aproximació quadràtica]] per a una funció ƒ.
:<math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2.</math>
Aquesta aproximació quadràtica és el [[Teorema de Taylor|polinomi de Taylor]] de segon ordre per la funció centrada a ''x'' = ''a'' .
:<math>\frac{\part^2 f}{\part x \, \part y}, \; \frac{\part^2 f}{\part x \, \part z}, \text{ i }\frac{\part^2 f}{\part y \, \part z}.</math>
Aquestes encaixen en una [[matriu simètrica]] coneguda com el '''hessià'''.
=== El laplacià ===
{{Principal|Operador laplacià}}
Una altra generalització comuna de la derivada segona és el '''laplacià'''.
:<math>\nabla^2 f = \frac{\part^2 f}{\part x^2}+\frac{\part^2 f}{\part y^2}+\frac{\part^2 f}{\part z^2}.</math>
El laplacià d'una funció és igual a la [[divergència]] del [[gradient]].
=== Impreses ===
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|last2 =
|first2 =
|last3 =
|first3 =
|date =
|títol =
|place =
|editorial =
|edició =
|isbn =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|date =
|títol =
|editorial =
|edició =
|volume =
|isbn =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|date =
|títol =
|editorial =
|edició =
|volume =
|isbn =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|date =
|títol =
|edició =
|editorial =
|isbn =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|last2 =
|first2 =
|last3 =
|first3 =
|date =
|títol =
|edició =
|editorial =
|isbn =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|author-link =
|date =
|títol =
|editorial =
|edició =
|isbn =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|date =
|títol =
|editorial =
|edició =
|isbn =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|date =
|títol =
|edició =
|place =
|editorial =
|isbn =
}}
=== Llibres en línia ===
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|títol =
|any =
|url =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|any =
|títol =
|url =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|any =
|títol =
|url =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|any =
|títol =
|url =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|any =
|títol =
|url =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|any =
|títol =
|url =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|any =
|títol =
|url =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|first =
|any =
|títol =
|url =
}}
* {{Ref-llibre
|last =
|títol =
|url =
}}
| |||