Diferència entre revisions de la pàgina «Derivada segona»

123 octets eliminats ,  fa 9 anys
m
Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + )
m (Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ))
[[Fitxer:4 fonctions du second degré.svg|right|thumb|200px|La derivada segona d'una [[funció quadràtica]] és una [[funció polinòmica de grau zero|constant]].]]
 
En [[càlcul]], la '''derivada segona''' d'una [[funció matemàtica|funció]] ƒ és la [[derivada]] de la derivada de ƒ. A grans trets, la derivada segona mesura com canvia la taxa de variació d'una quantitat; per exemple, la segona derivada de la posició d'un vehicle respecte a temps és l'[[acceleració]] instantània del vehicle, o la raó a què la [[velocitat]] del vehicle està canviant.
 
Sobre la [[gràfica d'una funció]], la segona derivada correspon a la [[curvatura]] o concavitat de la gràfica. La gràfica d'una funció amb derivada segona positiva es corba cap amunt, mentre la gràfica d'una funció amb derivada segona negativa es corva cap avall.
{{Principal|Notació de la derivada}}
 
La derivada segona d'una funció <math>f(x)\!</math> es nota normalment <math>f''(x)\!</math>. És a dir:
:<math>f'' = (f')'\!</math>
 
=== Concavitat ===
 
La segona derivada d'una funció ƒ mesura la '''concavitat''' de la gràfica de ƒ. Una funció tal que la seva derivada segona és positiva serà [[convexa]], el que vol dir que la recta tangent quedarà per sota el gràfic de la funció. De forma Similar, una funció tal que la seva derivada segona sigui negativa serà [[funció còncava|còncava]], i les seves rectes tangents quedaran per damunt del gràfic de la funció.
 
=== Punts d'inflexió ===
{{Principal|Punt d'inflexió}}
 
Si la derivada segona d'una funció canvia de signa, el gràfic de la funció canviarà de còncava a convexa, o viceversa. Un punt on això ocorre s'anomena un '''punt d'inflexió'''. Suposant que la derivada segona sigui continua, ha de prendre un valor zero en qualsevol punt d'inflexió, encara que no tots els punts on la derivada segona és zero són necessàriament punts d'inflexió.
 
=== Test de la derivada segona ===
{{Principal|Test de la derivada segona}}
La relació entre la segona derivada i el gràfic es pot fer servir per provar si un [[punt estacionari]] d'una funció (i.e. un punt on <math>f'(x)=0\!</math>) és un [[màxims i mínims|màxim local]] o un [[màxims i mínims|mínim local]]. Específicament
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) < 0</math> llavors <math>\ f</math> té un màxim local a <math>\ x</math>.
* Si <math>\ f^{\prime\prime}(x) > 0</math> llavors <math>\ f</math> té un mínim local a <math>\ x</math>.
 
== Aproximació quadràtica ==
Igual com la derivada primera relaciona amb una [[aproximació lineal]] de la funció, la derivada segona es relaciona amb la millor [[aproximació quadràtica]] per a una funció ƒ. Aquesta és la [[funció quadràtica]] tal que les seves derivades primera i segona són les mateixes que les de ƒ en un punt donat. La fórmula per la millor aproximació quadràtica a una funció ƒ al voltant del punt ''x''  = ''a'' és
:<math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2.</math>
Aquesta aproximació quadràtica és el [[Teorema de Taylor|polinomi de Taylor]] de segon ordre per la funció centrada a ''x''  = ''a'' .
:<math>\frac{\part^2 f}{\part x \, \part y}, \; \frac{\part^2 f}{\part x \, \part z}, \text{ i }\frac{\part^2 f}{\part y \, \part z}.</math>
 
Aquestes encaixen en una [[matriu simètrica]] coneguda com el '''hessià'''. Els [[valor propi, vector propi i espai propi|valors propis]] d'aquesta matriu es poden fer servir per implementar un test anàleg al de la segona derivada en càlcul multivariable.
 
=== El laplacià ===
{{Principal|Operador laplacià}}
Una altra generalització comuna de la derivada segona és el '''laplacià'''. Aquest és l'operador diferencial <math>\nabla^2</math> definit per
:<math>\nabla^2 f = \frac{\part^2 f}{\part x^2}+\frac{\part^2 f}{\part y^2}+\frac{\part^2 f}{\part z^2}.</math>
El laplacià d'una funció és igual a la [[divergència]] del [[gradient]].
=== Impreses ===
* {{Ref-llibre
|last = Anton
|first = Howard
|last2 = Bivens
|first2 = Irl
|last3 = Davis
|first3 = Stephen
|date = February 2, 2005
|títol = Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable
|place = New York
|editorial = Wiley
|edició =
|isbn = 978-0471472445
}}
 
* {{Ref-llibre
|last = Apostol
|first = Tom M.
|date = June 1967
|títol = Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra
|editorial = Wiley
|edició = 2n
|volume = 1
|isbn = 978-0471000051
}}
* {{Ref-llibre
|last = Apostol
|first = Tom M.
|date = June 1969
|títol = Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications
|editorial = Wiley
|edició = 2n
|volume = 1
|isbn = 978-0471000075
}}
* {{Ref-llibre
|last = Eves
|first = Howard
|date = January 2, 1990
|títol = An Introduction to the History of Mathematics
|edició =
|editorial = Brooks Cole
|isbn = 978-0030295584
}}
* {{Ref-llibre
|last = Larson
|first = Ron
|last2 = Hostetler
|first2 = Robert P.
|last3 = Edwards
|first3 = Bruce H.
|date = February 28, 2006
|títol = Calculus: Early Transcendental Functions
|edició = 4t
|editorial = Houghton Mifflin Company
|isbn = 978-0618606245
}}
* {{Ref-llibre
|last = Spivak
|first = Michael
|author-link = Michael Spivak
|date = September 1994
|títol = Calculus
|editorial = Publish or Perish
|edició = 3r
|isbn = 978-0914098898
}}
* {{Ref-llibre
|last = Stewart
|first = James
|date = December 24, 2002
|títol = Calculus
|editorial = Brooks Cole
|edició =
|isbn = 978-0534393397
}}
* {{Ref-llibre
|last = Thompson
|first = Silvanus P.
|date = September 8, 1998
|títol = Calculus Made Easy
|edició = Revisat, Actualitzada, S'Estenia
|place = New York
|editorial = St. Martin's Press
|isbn = 978-0312185480
}}
 
=== Llibres en línia ===
* {{Ref-llibre
|last = Crowell
|first = Benjamin
|títol = Calculus
|any = 2003
|url = http://www.lightandmatter.com/calc/
}}
* {{Ref-llibre
|last = Garrett
|first = Paul
|any = 2004
|títol = Notes on First-Year Calculus
|url = http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/
}}
* {{Ref-llibre
|last = Hussain
|first = Faraz
|any = 2006
|títol = Understanding Calculus
|url = http://www.understandingcalculus.com/
}}
* {{Ref-llibre
|last = Keisler
|first = H. Jerome
|any = 2000
|títol = Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
|url = http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
}}
* {{Ref-llibre
|last = Mauch
|first = Sean
|any = 2004
|títol = Unabridged Version of Sean's Applied Math Book
|url = http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
}}
* {{Ref-llibre
|last = Sloughter
|first = Dan
|any = 2000
|títol = Difference Equations to Differential Equations
|url = http://synechism.org/drupal/de2de/
}}
* {{Ref-llibre
|last = Strang
|first = Gilbert
|any = 1991
|títol = Calculus
|url = http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
}}
* {{Ref-llibre
|last = Stroyan
|first = Keith D.
|any = 1997
|títol = A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
|url = http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm
}}
* {{Ref-llibre
|last = Wikibooks
|títol = Calculus
|url = http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus
}}
 
851.856

modificacions