Revisió del 02:00, 1 jul 2011 modifica 80.31.94.197 (discussió) →‎Observació a propòsit d'altres estructures algebraiques ← Edició anterior		Revisió del 16:39, 12 abr 2012 modifica desfés EVA (bot) (discussió \| contribucions) Bots 851.856 edits m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) Edició següent →
Línia 13: Es disposa de les caracteritzacions usuals següents: * <Math>F_1</math> i <math>F_2</math> són en suma directa si i només si, per a tot <math>u_1</math> de <math>F_1</math> i <math>u_2</math> de <math>F_2</math> :<math>u_1 + u_2 = 0 \Leftrightarrow u_1 = u_2 = 0</math> * <Math>F_1</math> i <math>F_2</math> són en suma directa si i només si :<math>F_1 \cap F_2 = \{0\}</math> Línia 23: # Juxtaposant ("reunint") una base de <math>F_1</math> i una base de <math>F_2</math>, es constitueix una base de <math>F_1 + F_2</math>. '''Subespais suplementaris''': dos subespais <math>F_1</math> i <math>F_2</math> de ''E'' s'anomenen ''suplementaris'' quan <math>E = F_1 \oplus F_2</math>. Això significa que per a tot element ''u'' de ''E'', existeix una única parella <math>\ (u_1; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tal que <math>\ u = u_1 + u_2</math>. === Suma directa de diversos subespais vectorials === Línia 59: # Els <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> són en suma directa. # <math>\sum_{i=1}^k \dim F_i = \dim\left(\sum_{i=1}^k F_i\right)</math>. # Juxtaposant una base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ F_1</math>... una base <math>\ \mathcal{B}_k</math> de <math>\ F_k</math>, es constitueix una base de la suma. '''Exemple''': siguin ''E'' un espai vectorial sobre ''K'' de dimensió finita, i ''f'' un endomorfisme de ''E'' que té exactament ''p'' [[Valor propi\|valors propis]] (diferents) anomenats <math> \lambda_1,\, \dots,\, \lambda_p</math>. Es designa per <math>\ \mathrm{Id}</math> l'endomorfisme identitat de ''E'' . Per a tot enter ''i'' tal que 1 ≤ ''i'' ≤ p, <math> E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\, \mathrm{Id})</math> és el [[subespai propi]] de ''f'' associat al valor propi <math>\ \lambda_i</math>.<br /> Les dues propietats següents són clàssiques: * La suma <math>\sum_{i=1}^p E_i</math> és directa. * <Math>\bigoplus_{i = 1}^p E_i = E</math>si i només si ''f'' és [[Reducció d'endomorfismes\|diagonalitzable]]. : Quan és el cas, es constitueix una base <math>\ \mathcal{B}</math> de ''E'' diagonalitzant ''f'' juxtaposant una base <math>\ \mathcal{B}_1</math> de <math>\ E_1</math>, ... , una base <math>\ \mathcal{B}_p</math> de <math>\ E_p</math>. Línia 92: === Suma directa externa de dos ''K'' -espais vectorials === La '''suma directa externa''' de dos <math>K</math>-espais vectorials <math>E_1</math> i <math>E_2</math> és el producte cartesià <math>E_1 \times E_2</math> sobre el qual es defineix * una addició: :<math>\ (u_1 ; u_2) + (v_1 ; v_2) = (u_1 + v_1 ; u_2 + v_2)</math> * una multiplicació externa pels elements de <math>K</math>: :<math>\alpha \, (u_1 ; u_2) = (\alpha\, u_1 ; \alpha\, u_2)</math> (où <math>\alpha \in K</math>) Línia 124: Per exemple, si <math>A_1</math> i <math>A_2</math> són dos anells, es defineixen sobre <math>A_1 \times A_2</math> dues lleis de composició interna: * una addició: :<math>\ (a_1 ; a_2) + (b_1 ; b_2) = (a_1 + b_1 ; a_2 + b_2)</math> * una multiplicació: :<math>\ (a_1 ; a_2) \cdot (b_1 ; b_2) = (a_1 b_1 ; a_2 b_2)</math> Proveït d'aquestes dues lleis de composició, el conjunt <math>A_1 \times A_2</math> és un anell. Fins i tot si <math>A_1</math> i <math>A_2</math> són [[anell íntegre\|íntegres]], el seu producte cartesià no ho és: <Math>a_1</math>, <math>a_2</math> sent dos elements no nuls de <math>A_1</math>, <math>A_2</math> respectivament, es té: <Math>\ (a_1; 0) \cdot (0; a_2) = (0 ; 0)</math>. Línia 143: Per anàlisi síntesi: * Se Suposa que un tal <math>\phi</math> existeix. Sigui <math>(x_i)_{i\in I}\in \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i</math>; es té: <math> \begin{matrix}q_i : & X_i & \longrightarrow & \bigoplus_{k\in I}^{ext} X_k\\ & x_i & \mapsto & (x_i\delta_{ik})_{i\in I}\\\end{matrix} </math> avec <math>\delta_{ik}</math> symbole de Kronecker ; on a : <math>\phi \circ q_i (x_i) = \phi(0,...,0,x_i,0,...,0) = f_i(x_i)</math> et, pour <math>(n,m)\in I^2</math>, <math>\phi((x_n+x_m) = \phi((x_n,0)+(0,x_m)) = f_n(x_n)+f_m(x_m)</math> par A-linéarité, donc <math>\phi((x_i)_{i\in I}) = \phi(\sum_{k\in I} x_k\delta_{ik}) = \sum_{i\in I} f_i(x_i)</math> ce qui assure l'unicité de <math>\phi</math> * Es posa per tant <math> \begin{matrix}\phi: & \bigoplus_{i\in I}^{ext} X_i & \longrightarrow & Y\\ & (x_i)_{i\in I} & \mapsto & \sum_{i\in I} f_i(x_i)\\\end{matrix} </math>; sent els <math>f_i</math> lineals, <math>\phi</math> és lineal. Sigui <math>x_i\in X_i</math>, es té: <Math>\phi \circ q_i (x_i) = \phi (0...,0,x_i,0...,0) = \sum_{k\in I} f_k(x_k) = f_i(x_i)</math>; així és té <math>\phi \circ q_i = f_i</math>, per tant <math>\phi</math> existeix també.

Suma directa: diferència entre les revisions