Diferència entre revisions de la pàgina «Equació diferencial lineal»

m
Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + )
m (r2.7.1) (Robot afegeix: lt:Tiesinė diferencialinė lygtis)
m (Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ))
És convenient reescriure aquesta equació en forma d'operador
 
: <math> L_n(y) \equiv \left[\,D^n + A_{1}(t)D^{n-1} + \cdots + A_{n-1}(t) D + A_n(t)\right] y</math>
 
on ''D'' és l'operador diferencial ''d/dt'' (és a dir ''Dy = y'', ''D'' <sup>2</sup>''y = y"... '' ), i ''A<sub>n</sub>'' són funcions donades.
:<math> y_1 = A_1 e^{-i k x}. \,</math>
 
Aquestes solucions proporcionen una base per l'"[[espai vectorial|espai solució]]" bidimensional de l'equació diferencial de segon ordre: El que vol dir que les combinacions lineals d'aquestes solucions també seran solucions. En particular, es poden construir les solucions següents
 
:<math> y_{0'} = {A_0 e^{i k x} + A_1 e^{-i k x} \over 2} = C_0 \cos (k x) \,</math>
Donada l'equació de l'[[moviment harmònic|oscil·lador harmònic]] esmorteï:
 
:<math> \left(D^2 + {b \over m} D + \omega_0^2\right) y = 0, </math>
 
l'expressió entre parèntesis es pot descompondre en factors: primer s'obté l'equació característica substituint ''D'' per λ;. Aquesta equació ha de ser satisfeta per a tot ''y'', per tant:
:<math> y_1 = A_1 e^{-\omega x - \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} = A_1 e^{-\omega x} e^{-\sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x} </math>
 
on ω; = ''b'' / 2 ''m'' . A partir d'aquest parell linealment independent de solucions es pot construir un altre parell linealment independent que serveixen com a base per l'espai de solució bidimensional:
 
:<math> y_H (A_0, A_1) (x) = \left(A_0 \sinh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x + A_1 \cosh \sqrt{\omega^2 - \omega_0^2} x\right) e^{-\omega x}. </math>
== Referències ==
* {{Ref-llibre
|author = Birkhoff, Garret and Rota, Gian-Carlo
|any = 1978
|títol = Ordinary Differential Equations
|isbn = 0-471-07411-X
|editorial = John Wiley and Sons, Inc.
|lloc = Nova York
|oclc =
}}
* {{Ref-llibre
|author = Gershenfeld, Neil
|any = 1999
|títol = The Nature of Mathematical Modeling
|isbn = 978-0521-570954
|editorial = Cambridge University Press
|lloc = Cambridge, Uk.
|oclc =
}}
* {{Ref-llibre
|author = Robinson, James C.
|any = 2004
|títol = An Introduction to Ordinary Differential Equations
|isbn = 0-521-826500
|editorial = Cambridge University Press
|lloc = Cambridge, Uk.
|oclc =
}}
851.856

modificacions