Revisió del 10:31, 6 abr 2012 modifica Mcapdevila (discussió \| contribucions) 185.499 edits →‎Vegeu també ← Edició anterior		Revisió del 18:36, 12 abr 2012 modifica desfés EVA (bot) (discussió \| contribucions) Bots 851.856 edits m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) Edició següent →
Línia 27: * Amb aquesta eina es pot analitzar un senyal periòdic en termes del seu contingut freqüèncial o espectre. * Permet establir una dualitat entre temps i freqüència, de manera que les operacions realitzades en el domini temporal tenen el seu dual en el domini freqüèncial. * La forma trigonomètrica de les Sèries de Fourier permet descriure una funció periòdica ''x(t)'' de període ''T'' ([[freqüència fonamental]]<math> f_0=\frac{1}{T}, \omega_0=2\pi f_0 </math> ). === Forma general === Línia 38: on els seus coeficients vénen donats per les següents expressions: :* <math> \omega_n = n\frac{2\pi}{T}</math>     on ''n'' és el nombre d'[[harmònics]] de la funció ''f'', :* <math>a_n = \frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) \cos(\omega_n t)\, dt</math>     part parella dels coeficients de Fourier de la funció ''f'' :* <math>b_n = \frac{2}{T}\int_{t_1}^{t_2} f(t) \sin(\omega_n t)\, dt </math>     part senar dels coeficients de Fourier de la funció ''f'' === Forma canònica === En el cas especial de tenir un període ''T'' = 2π, es tindria que :<math>\omega_n = n \, </math> En aquest cas, els coeficients de la Sèrie de Fourier es redueixen, arribant a una expressió particularment simple: Línia 66: :: <math>\alpha x_p(t) + \beta y_p(t)\leftrightarrow \alpha X_s[k] + \beta Y_s[k]</math> * Derivada :: <math>x'_p(t)\leftrightarrow jk2\pi f_0 X_s [k] (k\neq 0)</math> * Integral :: <math>\int_{0}^{t} x_p(t)\, dt\leftrightarrow \frac{X[k]}{jk2\pi f_0}+C (k\neq 0)</math> * Retard :: <math>x_p(t-\alpha)\leftrightarrow X_s[k] e^{-j2k\pi f_0\alpha} </math> Línia 96: <math>a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x \cos(n x)\,dx</math> :<math>= \left[ \frac{\cos n x + n x \sin n x}{\pi n^2} \right]_0^{\pi}</math> <math>a_n = \frac{(- 1)^n -1}{\pi n^2}, </math> Línia 102: <math>b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x \sin(n x)\,dx</math> :<math>=\left[\frac{\sin nx - nx \cos n x}{\pi n^2} \right]_0^{\pi}</math> <math>b_n = -\frac{(- 1)^n }{n} </math> Línia 111: :<math> f(x)\sim \frac{\pi}{4} + \sum_{n>0}\left[\frac{(-1)^n -1 }{\pi n^2} \cos n x- \frac{(-1)^n}{n} \sin n x\right]</math> Es veu així per què aquesta Sèrie de Fourier convergeix a ''f(x)'' quan <math>(-\pi < x < \pi ) </math>. Així mateix aquesta sèrie representa l'extensió periòdica de la funció ''f'' indicada a les línies de punts de la Fig.1. La funció periòdica és discontínua en els punts <math>x= \pm \pi, \pm 3 \pi \ldots </math>. La teoria mostrarà que la suma de la sèrie a cadascun d'aquests punts ha de ser <math>\frac{\pi}{2} </math>. Una petita indicació de la convergència de la sèrie a ''f(x)'', és que es poden sumar alguns termes de la sèrie per composició d'ordenades. Es trobarà, per exemple, que la [[gràfica d'una funció\|gràfica de la funció]] és una aproximació ondulada de la gràfica de la Fig. 1 <math>y= \frac{\pi}{4}- \frac{2}{\pi} \cos x + \sin x -\frac{1}{2} \sin 2x</math>. Línia 119: :<math> f(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)]</math> on <math>\omega =\frac{2\pi}{T}</math> és la seva Sèrie de Fourier. [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet\|P.G.L. Dirichlet]] el 1829 va demostrar satisfactòriament que un grup específic de funcions, són iguals a la suma de les seves series de Fourier. === Condicions de Dirichlet === Línia 131: :<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)]=f(t)</math> :* Si ''f'' té una discontinuïtat de salt en un punt ''t'', llavors la sèrie convergeix en aquest punt vers el punt mig del salt, o sigui :<math> \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n \cos (n\omega t) + b_n \sin (n\omega t)] =\frac{f(t^-)+f(t^+)}{2} </math> on <math>f(t^-)=\lim_{\tau\to 0,\tau}f(t -\tau)</math> indica el límit de ''f'' a ''t'' per l'esquerra i <math>f(t^+)=\lim_{\tau\to 0,\tau}f(t +\tau)</math> indica el límit de ''f'' a ''t'' per la dreta. Línia 182: la seva Sèrie de Fourier. Aleshores :<math>\frac{1}{T}\int_{0}^{T}[f(t)]^2\, d t =\frac{1}{4} a_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}[ a_n^2 + b_n^2]</math> Quan ''f'' és un senyal periòdic de període fonamental ''T'', aquesta igualtat es pot interpretar de la següent manera. La integral <math>P=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} [f(t)]^2\, dt</math> s'anomena ''mitja quadràtica o potència mitja'' de ''f''. == Notació complexa de la Sèrie de Fourier == Línia 191: :<math> f(t)\sim \alpha_0 +\sum_{n=1}^\infty\alpha_n \cos (n\omega t + \phi_n) </math> on <math>\omega=\frac{2\pi}{T}</math> i els coeficients d'aquestes expressions estan relacionades de la següent manera: <math>\alpha_0=\frac{1}{2}a_0</math> i per n=1,2... :<math>\alpha_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}</math> ::i :<math>\phi_n=arctan\left( \frac{-b_n}{a_n}\right )\in(-\pi, \pi] </math> o bé <math>a_n = \cos(\phi_n)</math> ::i <math>b_n = -\alpha_n\sin(\phi_n)</math> Línia 225: on <math>\omega=\frac{2\pi}{T}</math> :* Linealitat: si ''p'' i ''q'' son nombres complexos ::<math>p f(t)+q g(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty} (p c_n + q d_n) e^{j n \omega t}</math> :* Translació en el temps: <math>t_0</math> és un nombre real. ::<math> f(t- t_0)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{-j n \omega t_0}e^{j n \omega t} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{j n \omega (t- t_0)}</math> Línia 245: Els coeficients complexos de Fourier d'un tren de [[pols rectangular\|polsos rectangulars]], donats com l'extensió periòdica de la funció definida a l'interval de <math>\left[\frac{-T}{2}, \frac{T}{2}\right]</math> per :<math>f(n)=\begin{cases} k & \mbox{ si }0\le\|t\|<\frac{d}{2} \\ 0 & \mbox{ si }\frac{d}{2}\le\\|t\|< \frac{T}{2}\end{cases}</math> són :<math>c_n=\frac{k}{T}\int_{\frac{-d}{2}}^{\frac{d}{2}} e^{-j n\omega t}\, dt =\frac{kd}{T} \frac{\sin(\frac{n\omega d}{2})}{\frac{n\omega d}{2}}</math>

Sèrie de Fourier: diferència entre les revisions