Revisió del 01:11, 5 des 2011 modifica RibotBOT (discussió \| contribucions) Bots 191.443 edits m Robot: Reemplaçament automàtic de text (-http://books.google.com/ +http://books.google.cat/) ← Edició anterior		Revisió del 18:37, 12 abr 2012 modifica desfés EVA (bot) (discussió \| contribucions) Bots 851.856 edits m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) Edició següent →
Línia 1: En [[matemàtiques]], una '''serie hipergeomètrica''' es una [[sèrie de potències]] on el k-ésim coeficient de la sèrie es una funció racional de ''k''. Si la sèrie [[Convergència (matemàtiques)\|convergeix]], defineix una funció hipergeomètrica, el seu domini es qualsevol [[subconjunt]] dels [[Números complexos\|números complexes]]. Generalment, aquetes funcions hipergeomètriques es representen mitjançant la notació <sub>''p''</sub>F<sub>''q''</sub>(''a''<sub>1</sub>,''a''<sub>2</sub>,... ;''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>,...;''z''). El primer cas estudiat correspon a la ''sèrie hipergeomètrica ordinaria'' o ''gaussiana'' <sub>2</sub>''F''<sub>1</sub>(''a'',''b'';''c'';''z''), que va ser estudiada sistematicament per [[Carl Friedrich Gauss]], tot i que anteriorment, [[Leonhard Euler]] ja havia estudiat aquest tipus d'estructura.({{harvtxt\|Gauss\|1813\|texto=1}} == Definició == De la forma mes general, es formula de la següent manera: <math>\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(a_1)_n(a_2)_n\ldots(a_p)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\ldots(b_q)_n}\,\frac{z^n}{n!}\,</math> :on: <math>(a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1)\,</math> es el símbol de Pochhammer. Línia 10: Hi ha certs valors de ''a''<sub>''j''</sub> y ''b''<sub>''k''</sub> per a els quals el numerador o el denominador dels coeficients es 0. * Si qualsevol ''a''<sub>''j''</sub> es un sencer negatiu (0, −1, −2, etc.) llavors la sèrie tan sols te un número finit de termini, i es, de fet un polinomi de grau -''a''<sub>''j''</sub>. * Si qualsevol ''b''<sub>''k''</sub> es un sencer negatiu (exceptuant el cas previ amb -''b''<sub>''k''</sub> < ''a''<sub>''j''</sub>) llavors els denominadors es fan 0 i la sèrie es indefinida. Exceptuant aquests casos, el [[Criteri de d'Alembert]] pot ser aplicat i determina el radi de convergència. Línia 17: * Si ''p''>''q''+1 llavors el ratio dels coeficients tendeix a infinit. Aixó implica que el radi de convergència es 0 i la sèrie no defineix una [[funció analítica]]. La qüestió de convergència per a ''p''=''q''+1 quan ''z'' està en el cercle unitari es mes difícil. Está demostrat que les sèrie convergeix absolutament en ''z''=1 si :<math>\Re\left(\sum b_k - \sum a_j\right)>0</math>. == Aplicacions == Les funcions hipergeomètriques formen una vasta família de funcions que inclouen entre d’ altres a les [[Funció de Bessel\|funcions de Bessel]], la funció Gamma incompleta, la funció error, integrals el•líptiques i polinomis ortogonals. El que fa que aixó sigui així, es degut a que les funcions hipergeomètriques son solucions d’una clase molt general d’ equacions diferencials ordinàries de segon ordre: las equacions diferencials hipergeomètriques. == Veure també ==

Sèrie hipergeomètrica: diferència entre les revisions