Forma modular: diferència entre les revisions

En [[matemàtiques]], una '''forma modular''' és una [[funció analítica]] (complexa) en el [[semiplà superior]] que satisfà una certa classe d'[[equació funcional]] i condició de creixement. per això, la teoria de formes modulars pertany a l'[[anàlisi complexa]] però la importància principal de la teoria ha estat tradicionalment en les seves connexions amb [[teoria de nombres]]. Les formes modulars apareixen en altres àrees, com en [[topologia algebraica]] i en [[teoria de cordes]].

Quan ''k'' = 0, la condició 2 diu que ''F'' depèn només en la classe de [[similitud (matemàtiques)|similitud]] de l'enreixat. Això és un cas especial molt important, però les úniques formes modulars del pes 0 són les constants. Si s'elimina la condició 3 i es deixa que la funció tingui pols, llavors existeixen exemples amb pes 0: s'anomenen ''funcions modulars''.

La situació es pot comparar profitosament amb la que sorgeix en la recerca de funcions en l'[[espai projectiu]] P(''V''): en aquest context, idealment es voldrien funcions ''F'' en l'espai vectorial ''V'' que són polinòmics en les coordenades de ''v'' ≠ 0 en ''V'' i satisfà l'equació ''F'' (''cv'' ) = ''F'' (''v'' ) per a tot ''c'' diferent de zero. Desafortunadament, les úniques funcions d'aquest tipus són constants. Si es permetem denominadors (funcions racionals en comptes de polinomis), es podem deixar que ''F'' sigui la proporció de dos polinomis [[homogenis]] del mateix grau. Alternativament, es pot conservar els polinomis i relaxar la dependència sobre ''c'', deixant que ''F'' (''cv'' ) = ''c'' ^''k''''F'' (''v''). Les solucions són llavors els polinomis homogenis de grau ''k''. Per una banda, aquests formen un espai vectorial de dimensió finita per a cada ''k'', i en l'altre, si es deixa ''k'' variar, es poden trobar els numeradors i denominadors per construir totes les funcions racionals que són realment funcions en l'espai projectiu subjacent P(''V'').

One might ask, since the homogeneous polynomials are not really functions on P(''V''), what are they, geometrically speaking? The [[algebraic geometry|algebro-geometric]] answer is that they are ''sections'' of a [[sheaf (mathematics)|sheaf]] (one could also say a [[vector bundle|line bundle]] in this case). The situation with modular forms is precisely analogous.

Es podria preguntar, ja que els polinomis homogenis no són realment funcions en P(''V'' ), què són, geomètricament parlant? La resposta de la [[geometria algebraica]] és que són ''seccions'' d'un [[feix (matemàtiques)|feix]]. La situació amb formes modulars és precisament anàloga.

Tot enreixat Λ en '''C''' determina una [[corba el·líptica]] '''C'''/Λ sobre '''C'''; dos enreixats determinen corbes el·líptiques [[isomorfes]] si i només si un s'obté a artir de l'altre multiplicant per algun α. Es pot pensar en funcions modulars com funcions en l'[[espai de mòduls]] de classes d'isomorfismes de corbes el·líptiques complexes. Per exemple, el [[j-invariant]] d'una corba el·líptica, considerada com a funció en el conjunt de totes les corbes el·líptiques, és modular. Les formes modulars també es poden enfocar profitosament des d'aquest punt de vista geomètric, com seccions de farcells de línia en l'espai de mòduls de corbes el·líptiques.

Convertir una forma modular ''F'' en una funció d'una variable complexa senzilla és fàcil. Sia ''z'' = ''x'' + ''iy'', on ''y'' > 0, i sia ''f'' ''(z'' ) = ''F'' (<1 ''z'' >). (No es pot permetre ''y'' = 0 perquè llavors 1 i ''z'' no generarien un enreixat, així es restringeix l'atenció al cas que ''y'' és positiu.) La condicionió 2 de damunt ''F'' ara es converteix en l'[[equació funcional]]:

per ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' enters amb ''ad'' − ''bc'' = 1 (el [[grup modular)]]. Per exemple,

Funcions que satisfan l'equació funcional modular per a totes les matrius en un subgrup d'[[índex d'un subgrup|índex]] finit de SL₂('''Z''') també es consideren com modulars, normalment amb un qualificador que indica el grup. Així formes modulars de ''nivell N'' (vegi-hi més avall) satisfan l'equació funcional per a matrius congruents modulo la matriu identitat ''N'' (sovint de fet per a un grup més gran donat per mod ''N'' condicions en els coeficients de la matriu.)

i <math>f</math> és [[meromorfa]] al [[punt de retroces]]. Per "meromorfa al punt de retroces", es vol dir que la forma modular sigui meromorfa com <math>z\rightarrow i\infty</math>.

Admetent factors automorphics, les funcions com la [[funció eta de Dedekind]] es poden incloure en la teoria, sent una forma modular de pes 1/2. Així, per exemple, sia <math>\chi</math> un [[Caràcter de Dirichlet]] mod <math>N</math>. Una forma modular de pes <math>k</math>, nivell <math>N</math> (o grup de nivell <math>\Gamma_0(N)</math>) amb '''nebentypus''' el caràcter de Dirichlet en el qual <math>\chi</math> és una [[funció holomorfa]] <math>f</math> al [[semiplà superior]] tal que per a qualsevol

Els exemples més simples des d'aquest punt de vista són la '''[[sèrie D'Eisenstein]]'''. Per a cada enter igualat ''k'' > 2, es defineix ''E'' _k(Λ) com la suma de λ^−''k'' sobre tots els vectors diferents de zero λ de Λ:

Un '''[[enreixat unimodular|enreixat fins i tot unimodular]]''' ''L'' en '''R'''^''n'' és un enreixat generat pels ''n'' vectors que formen les columnes d'una matriu de determinant 1 i que satisfà la condició que elquadrat de la llargada de cada vector en ''L'' és un enter parell. Com a conseqüència de la [[fórmula sumatori de Poisson]], lA '''[[funció theta]]'''

és una forma modular de pes ''n''/2. No és tan fàcil construir enreixats fins i tot unimodulars, però aquí hi ha un camí: Sia ''n'' un enter divisible per 8 es consideren tots els vectors ''v'' en '''R'''^''n'' tals que 2 ''v'' té coordenades enteres, ja sia totes parells o senars, i tals que la suma de les coordenades de ''v'' és un enter parell. S'anomena aquest enreixat L_''n''. Quan ''n'' =8, aquest és l'enreixat generat per les arrels en el [[sistema d'arrels]] anomenat [[E8 (matemàtiques)|E₈]].

no són similars. [[John Milnor]] va observr que els [[tor (figura geomètrica)|torus]] 16 dimensionals obtinguts dividint '''R'''¹⁶ entre aquests dos enreixats són consegüentment exemples de [[varietat de Riemann|vatietats de Riemann]] [[espai compacte|compactes]] que són [[isoespectral]]s però no [[Isometria|isomètrics]].)

Els segons i tercers exemples donen alguna pista de la connexió entre formes modulars i questions clàssiques la teoria de nombres, com representació d'enters per [[forma quadràtica|formes quadràtiques]] i la [[funció de partició]]. L'enllaç conceptual crucial entre formes modulars i teoria de nombres el subministra la

Hi ha diverses idees de forma modular més general que aquesta de la qual es parla a dalt. La suposició d'analiticitat complexa es pot treure;

Les '''[[forma modular de Hilbert|formes modulars de Hilbert]]''' són funcions de ''n'' variables, cadascuna un nombre complex al semipla superior, que satisfan una relació modular per a matrius de 2×2 amb coeficients en un [[cos de nombres totalment real]].

* [[Jean-Pierre Serre]]: ''A Course in Arithmetic''. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. ''El capítol Vii proporciona una introducció elemental a la teoria de formes modulars''.

* [[Goro Shimura]]: ''Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions''. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. ''Proporciona un tractament més avançat.''

* Stephen Gelbart: ''Automorphic forms on adele groups''. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. ''Proporciona una introducció a formes modulars des del punt de vista de teoria de representació''.