Teoria de grups: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- + ) |
|||
Línia 33:
== Principals de classes grups ==
{{Principal|Grup (matemàtiques)}}
La gamma de grups que s'estudien s'ha expandit gradualment des dels [[
▲La gamma de grups que s'estudien s'ha expandit gradualment des dels [[grup]]s de [[permutació|permutacions]] finites i exemples especials de [[grup de matrius]] fins a grups abstractes que es poden especificar a través d'una [[presentació d'un grup|presentació]] per generadors i relacions.
=== Grups de permutacions ===
La primera classe de grups que es va estudiar de forma sistemàtica varen ser els [[grups de permutacions]]. Donat qualsevol conjunt ''X'' i una col·lecció ''G'' de [[funció bijectiva|bijeccions]] de ''X'' en si mateix (conegudes com ''permutacions'') que és tancat sota composicions i la inversa, ''G'' és un grup [[acció de grup|actuant]] sobre ''X''. Si ''X'' consta de ''n'' elements i ''G'' consisteix en ''totes'' les permutacions, ''G'' és el [[grup simètric]] ''S''<sub>''n'' </sub>; en general ''G'' és un [[subgrup]] del grup simètric de ''X''. Una primera construcció deguda a [[Arthur Cayley|Cayley]] presentava qualsevol grup com a grup de permutació, actuant sobre si mateix (''X'' = '' G'') per mitjà de la [[representació regular]] per l'esquerra.
Linha 45 ⟶ 42:
=== Grup de matrius ===
La pròxima classe important de grups es ve donat pels ''grups de matrius'', o [[grup lineal|grups lineals]]. Aquí ''G'' és un conjunt de [[matriu (matemàtiques)|matrius]] invertibles d'un ordre donat ''n'' sobre un [[cos (matemàtiques)|cos]] ''K'' que és tancat sota el producte i la inversa. Tal grup actua sobre l'espai vectorial ''n''-dimensional ''K''<sup>''n''</sup> per [[transformacions lineals]]. Aquesta acció fa als grups de matrius conceptualment similars als grups de permutacions, i la geometria de l'acció es pot explotar de manera útil per establir propietats del grup ''G''.
=== Grups de transformacions ===
Els grups de permutacions i els grups de matrius són casos especials de [[grup de transformació|grups de transformació]]: grups que actuen sobre un cert espai ''X'' conservant la seva estructura inherent. En el cas de grups de permutació ''X'' és un conjunt; pels grups de matrius ''X'' és un [[espai vectorial]]. El concepte d'un grup de transformació està estretament relacionat amb el concepte de [[grup de simetria]]: els grups de transformació freqüentment consisteixen en ''totes'' les transformacions que conserven una certa estructura.
Linha 64 ⟶ 59:
=== Grups topològics i algebraics ===
Una elaboració important del concepte de grup es dóna si ''G'' està dotat amb estructura addicional, notablement, d'un [[espai topològic]], [[varietat diferenciable]], o [[varietat algebraica]]. Si les operacions de grup ''m'' (multiplicació) i ''i'' (inversió),
| |||