Equacions de Maxwell: diferència entre les revisions

Cap resum de modificació
Primer de tot, la definició del flux del camp elèctric <math>\Phi_E</math> és la integral sobre tota la superfície tancada del vector <math>\mathrm d \mathbf S</math> multiplicat escalarment pel vector camp elèctric <math>\mathbf E</math>:
{{equació|<math>\Phi_E = \oint_S \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf S </math>}}
Per altra banda, hem dit que ens interessa la quantitat de càrrega a l'interior de la superfície tancada. Per tant, sigui <math>V</math> el volum que està envoltat per la superfície <math>S</math> - és a dir, que <math>S</math> és la frontera de <math>V</math>: <math>S = \partial V </math> - la càrrega total a l'interior de <math>S</math> serà l'integral de volum de la densitat de càrrega <math>\rho</math> :
{{equació|<math>Q_{\mathrm {int}} = \int_V \; \rho \; \mathrm dV</math>}}
Un cop dit això, la llei de Gauss afirma que el flux del camp elèctric a través d'una superfície <math>S = \partial V</math> és directament proporcional a la càrrega interior, i la constant de proporcionalitat és <math>\frac{1}{\varepsilon_0}</math>. Això escrit matemàticament és:
{{equació|<math> \oint_{\partial V} \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf S = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \; \rho \; \mathrm dV </math>}}
Que s'anomena la '''llei de Gauss en forma integral'''. En el cas del camp electroestàtic, aquesta fórmula es pot deduïr de la [[llei de Coulomb]] i viceversa. Tot i això, la llei de Gauss segueix sent vàlida en el cas electrodinàmic.
{{demostració|}}
 
A partir de la fórmula anterior, i aplicant el [[teorema de la divergència]], obtindrem la '''llei de Gauss en forma diferencial'''. Vegem-ho:
{{equació|<math> \frac{Q_{\mathrm {int}}}{\varepsilon_0} = \int_V \; \frac{\rho}{\varepsilon_0} \; \mathrm dV = \oint_{\partial V} \mathbf E \cdot \mathrm d \mathbf S = \int_V \; \nabla \cdot \mathbf E \; \mathrm dV </math>}}
On hem aplicat el teorema de la divergència en l'últim pas. Com que això es compleix per qualsevol volum <math>V</math>, això implica que les dues quantitats de dins les integrals han de ser iguals, de manera que concluïm que:
{{equació|<math>\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>}}
 
== Formulació ==
470

modificacions