Símplex: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Mcapdevila ha desplaçat la pàgina Símplex a Símplex (cònsol): delimitar-ho al personatge |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
{MM|2L = si|FR = si}}
{{Polisèmia|Algorisme simplex}}
[[Fitxer: tetrahedron.png|thumb|Un ''' 3-símplice ''' o [[tetraedre]] que pot pensar-se com una regió de l'espai que consisteix en la part acotada per (i que també inclou) els '' quatre punts '', els '' sis segments de línia '' i les '' quatre cares triangulars '']]
En [[geometria]], un ''' símplex ''' o ''' '' n ''-símplex ''' (o ''' símplice ''') és l'anàleg en '' n '' dimensions d'un triangle. Més exactament, un símplex és la [[embolcall convex]] d'un conjunt de ('' n ''+1) punts independents afins en un [[espai euclidià]] de dimensió '' n '' o major, és a dir, el conjunt de punts tal que cap '' m ''-pla conté més que ('' m ''+1) d'ells. Es diu d'aquests punts que estan en posició general.
Per exemple, un 0-símplex és un [[punt (geometria)|punt]], un 1-símplex un segment d'una línia, un 2-símplex un [[triangle]], un 3-símplex és un [[tetraedre]], i un 4-símplex és un [[pentácoron]] (en cada cas, amb el seu interior).
Un símplex regular és també un [[politopo regular]]. Un '' n ''-símplex regular pot construir-se a partir d'un ('' n '' -1)-símplex regular connectant un nou vèrtex a tots els vèrtexs originals per la longitud comuna del costat.
La embolcall convex de qualssevol '' m '' dels '' n '' punts també és un símplex, cridat una '' m ''-cara. Les 0-cares es diuen vèrtexs; les 1-cares, costats; les ('' n '' -1)-cares es diuen facetes; i l'única '' n ''-cara és el '' n ''-símplex en si. Per tant, el nombre de '' m ''-cares d'un '' n ''-símplex pot trobar a la columna (m+1) de la fila (n+1) del [[Triangle de Pascal]].
Una manera de trobar el volum d'un símplex és mitjançant els [[determinants de Cayley-Menger]].
== Símplex estàndard ==
[[Fitxer: 2D-simplex.svg|180px|thumb|right|El ''' 2-simplejo ''' estàndard en <math> \mathbb{R}^3 </math>]]
L '''' '' n ''-símplex estàndard ''' és el subconjunt de ''' R ''' <sup> '' n ''+1 </sup> donat per:
{{Equació|
<math> \Delta^n = \{(t_0, \cdots, t_n) \in \mathbb{R}^{n+1}\mid \sigma_{i}{t_i}= 1 \mbox{i}t_i \ge 0 \mbox{per a tot}i \}</math>
||Left}}
Traient la restricció '' t '' <sub> '' i '' </sub> ≥ 0 en la condició anterior dóna una '' n ''-dimensional [[subespai afí]] de ''' R ''' <sup> '' n ''+1 </sup> contenint el '' n ''-símplex estàndard. Les coordenades '' t '' <sub> '' i '' </sub> es diuen [[Coordenades baricéntricas (n-símplex)|coordenades baricéntricas]]. Els vèrtexs del '' n ''-símplex estàndard són els punts:
: '' i '' <sub> 0 </sub> = (1, 0, 0, ..., 0),
: '' i '' <sub> 1 </sub> = (0, 1, 0, ..., 0),
: <math> \Vdots </math>
: '' i '' <sub> '' n '' </sub> = (0, 0, 0, ..., 1).
Aquest és un mapa canònic des del '' n ''-símplex estàndard per a un '' n ''-símplex arbitrari amb vèrtexs ('' v '' <sub> 0 </sub>, ..., '' v '' <sub> '' n '' </sub>) donat per
: <math> (T_0, \cdots, t_n) \mapsto \Sigma_i t_i v_i </math>
Els coeficients '' t '' <sub> '' i '' </sub> es diuen [[coordenades baricéntricas]] d'un punt en el '' n ''-símplex. Aquest símplex general sovint es diu ''' '' n ''-símplex afí ''', per emfatitzar el mapa canònic és una [[transformació afí]]. De vegades també es diu ''' '' n ''-símplex afí orientat ''' per emfatitzar que el mapa canònic pot ser de [[orientació (matemàtiques)|orientació preservada]] o revertit.
== '' n ''-Volum d'un símplex ==
Si es té un '' n ''-símplex amb vèrtexs '' n ''+1 vèrtexs <math> \scriptstyle \{(x_1^{(i)}, \dots, x_n^{(i)}), 1 \le i \le n+1 \}</math> l''' n ''-volum es calcula mitjançant la fórmula de Lagrange:
{{Equació|
<math> V = \frac{1}{n !}\begin{vmatrix}
x_1^{(1)}& x_2^{(1)}& \dots & x_n^{(1)}& 1 \ \
x_1^{(2)}& x_2^{(2)}& \dots & x_n^{(2)}& 1 \ \
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots \ \
x_1^{(n+1)}& x_2^{(n+1)}& \dots & x_n^{(n+1)}& 1 \end{vmatrix}</math>
||Left}}
== Vegeu també ==
* [[Polítop]]
* [[Algorisme simplex]]
* [[Mètode Nelder-Mead]]
* [[Conjectura de Hirsch]]
== Nota ==
<references/>
[[Categoria:Topologia algebraica]]
[[bg:Симплекс]]
[[bn:ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স]]
[[cs:Simplex]]
[[de:Simplex (Mathematik)]]
[[en:Simplex]]
[[es:símplex]]
[[eo:Simplaĵo (geometrio)]]
[[fr:Simplexe]]
[[he:סימפלקס]]
[[hu:Szimplex]]
[[it:Simplesso]]
[[ja:単体 (数学)]]
[[kk:Симплекс]]
[[nl:Simplex (wiskunde)]]
[[no:Simplex]]
[[pl:Sympleks (matematyka)]]
[[pt:Simplex (topologia)]]
[[ru:Симплекс]]
[[simple:Simplex]]
[[sk:Simplex (geometria)]]
[[sl:Simpleks]]
[[sq:Simpleks]]
[[sv:Simplex]]
[[th:ซิมเพล็กซ์]]
[[uk:Симплекс]]
[[zh:单纯形]]
| |||