Cub

políedre regular de sis cares

Un cub, hexàedre regular o hexaedre regular és un políedre regular format per sis cares quadrades en el qual en cada vèrtex hi coincideixen tres arestes perpendiculars entre si. El seu volum es calcula segons la fórmula a³, on a és a longitud d'una aresta.[1]

Infotaula de polítopCub
Model 3D
Tipussòlid platònic, hipercub, zonoedre, trapezoedre trigonal, romboedre, ortoedre, prisma quadrilateral i objecte 3D Modifica el valor a Wikidata
Forma de les caresquadrat (6) Modifica el valor a Wikidata
Configuració de vèrtextriangle equilàter Modifica el valor a Wikidata
Símbol de Schläfli{4,3} Modifica el valor a Wikidata
Dualoctàedre regular Modifica el valor a Wikidata
Elements
Vèrtexs 8
Arestes 12
Cares 6 Modifica el valor a Wikidata
Més informació
MathWorldCube Modifica el valor a Wikidata

El cub és l'únic hexàedre regular i forma part dels cinc sòlids platònics. Té 6 cares, 8 vèrtexs i 12 arestes. També és un paral·lelepípede quadrat i un cuboide equilateral. És un prisma quadrat regular en tres orientacions i un trapezoedre trigonal en quatre orientacions. És el dual de l'octàedre i té simetria octaèdrica o cúbica. Finalment, és l'únic políedre convex que té totes les cares quadrades.

Geometria i fórmules modifica

Donat un cub regular d'aresta  :

Àrea de la superfície   Volum  
Diagonal facial   Diagonal espacial  
Radi de l'esfera circumscrita   Radi de l'esfera tangent a les arestes  
Radi de l'esfera inscrita   Angles entre cares (en radians)  

Com que el volum del cub és la potència tercera de les seves arestes ( ), les potències terceres s'anomenen «cub» per analogia a «quadrat» i les potències segones.

El cub té el volum més gros entre tots els cuboides amb una mateixa àrea superficial. A més a més, el cub també té el volum més gros entre els cuboides amb la mateixa longitud d'aresta total (amplada + llargada + alçada).

Simetria modifica

Un hexaedre regular (o cub) té quinze eixos de simetria d'ordre quatre: les rectes perpendiculars a cada parell de cares paral·leles pel seu punt mitjà; quatre eixos de simetria d'ordre dos: les rectes que uneixen els centres d'arestes oposades; nou plans de simetria; tres paral·lels a cada parell de cares paral·leles pel punt mitjà de les arestes que les uneixen, i sis formats pels parells d'arestes oposades; i un centre de simetria. Això fa que aquest cos tingui un ordre de simetria total de 48: 2x(3x4+6x2).

Els elements de simetria anteriors defineixen un dels grups de simetria octaèdrics, el denominat Oh segons notació de Schöenflies.

Punt en l'espai modifica

Per un cub l'esfera circumscrita del qual tingui radi R, i per un punt donat del seu espai tridimensional amb distàncies di respecte els vuit vèrtexs del cub, s'obté:[2]

 

Coordenades cartesianes i equació en l'espai tridimensional modifica

Coordenades cartesianes modifica

Per un cub centrat en l'origen, amb arestes paral·leles als eixos i amb una longitud d'aresta de 2, les coordenades cartesianes dels vèrtexs són:

(±1, ±1, ±1)

Mentre que l'interior consisteix en tots els punts (x0, x1, x₂) amb −1 < xi < 1 per tot i.

Equació en l'espai tridimensional modifica

En geometria analítica, la superfície d'un cub amb centre (x0, y0, z0) i llargada d'aresta 2a és el locus de tots els punts (x, y, z) tals que

 

Projeccions ortogonals modifica

El cub té quatre projeccions ortogonals especials: centrada en un vèrtex, aresta o cara, i normal a la seva figura de vèrtex. La primera i tercera corresponen als plans de Coxeter A₂ and B₂.

Projeccions ortogonals
Centratge per Cara Vèrtex
Plans de Coxeter B₂
 
A₂
 
Simetria
projectiva
[4] [6]
Vistes laterals    

Políedre esfèric modifica

El cub també es pot representar com un políedre esfèric i ser projectat sobre el pla per mitjà d'una projecció estereogràfica. Aquesta projecció és conforme, és a dir, preserva els angles però no pas les àrees o llargades. Les línies rectes de l'esfera es projecten com a arcs circulars sobre el pla.

   
Projecció ortogràfica Projecció estereogràfica

Problemes clàssics modifica

La duplicació del cub o problema de Delos modifica

[3][4]

Mecanitzar un cub en un torn modifica

[5]

En la cultura modifica

 
Tres cristalls cúbics de pirita.

Des d'anys passats, i en nombroses cultures, el cub és la forma més utilitzada per donar forma als daus, utilitzats en molts llocs. En els jocs de rol l'anotació escrita en el dau de sis cares és «D6».

En teologia, els cubs apareixen a les religions abrahàmiques. La Kaaba de la Meca n'és un exemple, ja que significa justament «cub» en àrab. També apareixen al judaisme: teffilin i Nova Jerusalem al Nou Testament són descrits com a cubs.[6]

El cub representa simbòlicament la veritat. I s'associava amb Hermes.[7]

En espectacles de fira modifica

  • La caixa cúbica "màgica".[8]
  • Cub sòlid i caixa cúbica.[9]

En mineralogia modifica

[10]

Acústica modifica

[11]

Referències modifica

  1. «Cub». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Arxivat 2016-10-10 a Wayback Machine.
  3. Klein, F.; Beman, W.W.; Smith, D.E.. Famous Problems of Elementary Geometry: The Duplication of the Cube; the Trisection of an Angle; the Quadrature of the Circle; an Authorized Translation of F. Klein's Vorträge Über Ausgewählte Fragen Der Elementargeometrie, Ausgearbeitet Von F. Tägert. Ginn & Company, 1897 [Consulta: 9 agost 2023]. 
  4. Jeans, J.H.; Barroso, M.H.. Historia de la física: Hasta mediados del siglo XX (en castellà). FCE - Fondo de Cultura Económica, 2016, p. 37. ISBN 978-607-16-4483-1 [Consulta: 9 agost 2023]. 
  5. «Como hacer un cubo en torno». [Consulta: 9 agost 2023].
  6. «Symbolism of the Cube • Eve Out of the Garden», 30-10-2020.
  7. Mackey, A.G.. The Symbolism of Freemasonry (Esprios Classics). Blurb, Incorporated, 1882, p. 114. ISBN 978-1-388-97266-0 [Consulta: 9 agost 2023]. 
  8. Frikell, W. Hanky Panky: A Book of Conjuring Tricks. Chatto & Windus, 1875, p. 194 [Consulta: 9 agost 2023]. 
  9. A Collection of Amazing Magic and Card Tricks. Read Books Limited, 2015, p. 24. ISBN 978-1-4733-9536-7 [Consulta: 9 agost 2023]. 
  10. Salatino, A. La Sabiduría de Los Cristales (en castellà). Editorial Kier, 2010, p. 35. ISBN 978-950-17-3405-8 [Consulta: 9 agost 2023]. 
  11. Kuleyev, I.G.; Kuleyev, I.I.; Bakharev, S.M.; Ustinov, V.V.. Phonon Focusing and Phonon Transport: In Single-Crystal Nanostructures. De Gruyter, 2020, p. 8. ISBN 978-3-11-067050-9 [Consulta: 9 agost 2023]. 

Vegeu també modifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Cub