Doble pèndol

En general, un doble pèndol és un sistema compost per dos pèndols, amb el segon penjant de l'extrem del primer. En el cas més simple, es tracta de dos pèndols simples, amb l'inferior penjant de la massa pendular del superior.

Un exemple de doble pèndol.

Normalment se sobreentén que ens referim a un doble pèndol pla, amb dos pèndols plans coplanaris. Aquest sistema físic posseeix dos graus de llibertat i exhibeix un ric comportament dinàmic. El seu moviment està governat per dues equacions diferencials ordinàries acoblades. Per sobre de certa energia, el seu moviment és caòtic.

Anàlisi del moviment del pèndol doble pla

Cinemàtica

A la cinemàtica només estem interessats a trobar les expressions de la posició, la velocitat, l'acceleració i en termes de les variables que especifiquen l'estat del doble pèndol, sense interessar-nos per les forces actuants. Ens servirem de les següents coordenades:

• x, i = posició horitzontal i vertical de la massa d'un pèndol
• θ = angle d'un pèndol respecte a la vertical (0 = vertical cap avall, antihorari és positiu)
• l = longitud de la vareta (constant)

Associarem al pèndol superior el subíndex 1, i al de baix el subíndex 2. Posarem l'origen de coordenades en el punt de pivot del pèndol superior. El sentit de les ordenades creixents es pren cap amunt.

A partir de consideracions trigonomètriques escrivim les expressions de les posicions x ₁ , i ₁ , x ₂ , i ₂ en termes dels angulos θ ₁ , θ ₂ :

$x_{1}=l_{1}\sin \theta _{1}\,$

$y_{1}=-l_{1}\cos \theta _{1}\,$

$x_{2}=x_{1}+l_{2}\sin \theta _{2}\,$

$y_{2}=y_{1}-l_{2}\cos \theta _{2}\,$

Derivant respecte al temps obtenim:

${\dot {x}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}l_{1}\cos \theta _{1}$

${\dot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}l_{1}\sin \theta _{1}$

${\dot {x}}_{2}={\dot {x}}_{1}+{\dot {\theta }}_{2}l_{2}\cos \theta _{2}$

${\dot {y}}_{2}={\dot {y}}_{1}+{\dot {\theta }}_{2}l_{2}\sin \theta _{2}$

I derivant una segona vegada:

${\ddot {x}}_{1}=-{\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}\sin \theta _{1}+{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}\cos \theta _{1}$

${\ddot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}\cos \theta _{1}+{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}\sin \theta _{1}$

${\ddot {x}}_{2}={\ddot {x}}_{1}-{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}\sin \theta _{2}+{\ddot {\theta }}_{2}l_{2}\cos \theta _{2}$

${\ddot {y}}_{2}={\ddot {y}}_{1}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}\cos \theta _{2}+{\ddot {\theta }}_{2}l_{2}\sin \theta _{2}$

Forces

Definim les variables:

• T = tensió en la vareta
• M = massa del pèndol
• G = acceleració de la gravetat

Farem servir la llei de Newton $F=ma$, escrivint per separat les equacions de les components verticals i horitzontals de les forces.

Sobre la massa $m_{1}$ actuen la tensió a la part superior de la vareta $T_{1}$, la tensió en la part inferior de la vareta $T_{2}$, i la gravetat -m ₁ g :

$M_{1}{\ddot {x}}_{1}=-T_{1}\sin \theta _{1}+T_{2}\sin \theta _{2}$

$M_{1}{\ddot {i}}_{1}=T_{1}\cos \theta _{1}-T_{2}\cos \theta _{2}-m_{1}g$

Sobre la massa $m_{2}$, actuen la tensió $T_{2}$ i la gravetat -m ₂ g :

$M_{2}{\ddot {x}}_{2}=-T_{2}\sin \theta _{2}$

$M_{2}{\ddot {i}}_{2}=T_{2}\cos \theta _{2}-m_{2}g$

Equacions de moviment

A partir de les equacions anteriors, després de realitzar nombroses operacions algebraiques amb la finalitat de trobar les expressions de ${\ddot {\theta _{1}}}$, ${\ddot {\theta _{2}}}$ en termes de $\theta _{1}\,$, ${\dot {\theta _{1}}}\,$, $\theta _{2}\,$, ${\dot {\theta _{2}}}\,$, arribaríem a les equacions de moviment per al pèndol doble:

${\ddot {\theta }}_{1}={\frac {-g(2m_{1}+m_{2})\sin \theta _{1}-m_{2}g\sin(\theta _{1}-2\theta _{2})-2\sin(\theta _{1}-\theta _{2})m_{2}({\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}))}{l_{1}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos(2\theta _{1}-2\theta _{2}))}}$

${\ddot {\theta }}_{2}={\frac {2\sin(\theta _{1}-\theta _{2})({\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}(m_{1}+m_{2})+g(m_{1}+m_{2})\cos \theta _{1}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}m_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}))}{l_{2}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos(2\theta _{1}-2\theta _{2}))}}$

Energia

L'energia cinètica ve expressada per:

$T={\frac {1}{2}}m_{1}({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {i}}_{1}^{2})+{\frac {1}{2}}m_{2}({\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {i}}_{2}^{2})={\frac {1}{2}}m_{1}l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}[L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})]$

L'energia potencial:

$V=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \theta _{1}-m_{2}gl_{2}\cos \theta _{2}\,$.

Per tant, el moviment es regirà per la lagrangiana

${\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+M_{2}l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \theta _{1}+m_{2}gl_{2}\cos \theta _{2}$

Equacions de moviment de Lagrange

Usant les equacions de Lagrange en aquest cas particular són:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{1}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=0,\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{2}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=0$

Calculant explícitament les derivades de l'expressió anterior s'arriba a:

${\begin{cases}(m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}{\ddot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}\sin \theta _{1}=0\\m_{2}l_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{1}l_{1}l_{2}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}gl_{2}\sin \theta _{2}=0\end{cases}}$

Aquestes són les equacions de Lagrange per a un pèndol doble on hem escollit com coordenades generalitzades les polars i en el qual hi ha dues lligadures ($L_{1}$ i $L_{2}$ constants)

Vegeu també

• Pèndol
• Pèndol balístic
• Pèndol cicloïdal
• Pèndol cònic
• Pèndol de Foucault
• Pèndol de Newton
• Pèndol de Pohl
• Pèndol de torsió
• Pèndol esfèric
• Pèndol físic
• Pèndol simple
• Pèndol simple equivalent

Referències

Bibliografia

• Marion, Jerry B.. Dinàmica clàssica de les partícules i sistemes (en espanyol). Barcelona: Ed Reverté, 1996. ISBN 84-291-4094-8. 

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Doble pèndol

• Eric W. Weisstein, Double pendulum, ScienceWorld, 2005 (en anglès, conté detalls sobre les equacions involucrades) i Rob Morris, Double Pendulum, Wolfram Demonstrations Project, 2007 (animacions).
• Animació que mostra moviment del pèndol doble i repartiment d'energia entre un i altre pèndol Arxivat 2008-01-22 a Wayback Machine.
• Interactiu de Física en Internet. Ángel Franco García.
• Double pendulum physics simulation, MyPhysicsLab (en anglès, codi Javascript lliure d'ús disponible a Github)