Equació biquadrada

Les equacions biquadrades (dues vegades quadrades) són un cas especial de les equacions polinòmiques de 4t grau.

Equació quadràtica que s'obté al aplicar el canvi de variable t=x² a l'equació biquadrada ax⁴+bx²+c=0.

S'anomenen equacions biquadrades aquelles equacions de 4t grau incompletes que només tenen els termes en $x^{4}$ en $x^{2}$ i el terme independent. Per tant tota equació biquadrada, un cop reduïda, es podrà escriure com: $ax^{4}+bx^{2}+c=0$

Aquestes equacions es poden resoldre fent un canvi de variable $t=x^{2}$ que ens converteix aquesta equació en una de 2n grau

Si $t=x^{2}$ aleshores $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ es pot escriure com $at^{2}+bt+c=0$ que és una equació de segon grau en $t$ i que es pot resoldre utilitzant la fórmula general.

Si $t_{1}$ i $t_{2}$ són les solucions de l'equació en t per trobar les solucions de l'equació biquadrada original haurem de desfer el canvi de variable. Així les solucions seran

$x^{2}=t_{1}:x=\pm {\sqrt {t_{1}}}$

$x^{2}=t_{2}:x=\pm {\sqrt {t_{2}}}$

Exemple

En aplicar el canvi $t=x^{2}$ a l'equació biquadrada $x^{4}-2x^{2}+1=0$, s'obté l'equació $t^{2}-2t+1=0$, que té l'única solució de multiplicitat doble $t=1$. Per tant, les úniques solucions de l'equació biquadrada són $x_{1}=1$ i $x_{2}=-1$.

Enllaços externs

• Equacions biquadrades resoltes