Extensió de Galois

En matemàtiques, en àlgebra abstracta, una extensió de Galois és una extensió de cos algebraica $E/F$ que és normal i separable; o de manera equivalent, $E/F$ és algebraica i el camp fixat pel grup d'automorfismes $\operatorname {Aut} (E/F)$ és precisament el cos base $F$.

La importància de ser una extensió de Galois és que l'extensió té un grup de Galois i obeeix al teorema fonamental de la teoria de Galois.

Un resultat de Emil Artin permet construir extensions de Galois de la següent manera: si $E$ és un cos donat, i G és un grup finit d'automorfismes de $E$ amb camp fix $F$, llavors $E/F$ és una extensió de Galois.

Caracterització de les extensions de Galois

Un teorema important d'Emil Artin afirma que per a una extensió finita $E/F,$ cadascuna de les afirmacions següents és equivalent a l'enunciat que $E/F$ és Galois:

• $E/F$ és una extensió normal i una extensió separable.
• $E$ és un cos de descomposició d'un polinomi separable amb coeficients en $F.$
• $|\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],$ és a dir, el nombre d'automorfismes és igual al grau de l'extensió.

Altres declaracions equivalents són:

• Tots els polinomis irreductibles a $F[x]$ amb almenys una arrel a $E$ es divideixen en $E$ i són separables.
• $|\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],$ és a dir, el nombre d'automorfismes és almenys el grau d'extensió.
• $F$ és el cos fix d'un subgrup de $\operatorname {Aut} (E).$
• $F$ és el cos fix de $\operatorname {Aut} (E/F).$
• Hi ha un correspondència un a un entre subcossos de $E/F$ i subgrups de $\operatorname {Aut} (E/F).$

Exemples

Hi ha dues maneres bàsiques de construir exemples d'extensions de Galois.

• Agafeu qualsevol cos $E$, qualsevol subgrup de $\operatorname {Aut} (E)$, i deixeu que $F$ sigui el cos fix.
• Agafeu qualsevol cos $F$, qualsevol polinomi separable a $F[x]$, i deixeu que $E$ sigui el seu cos de descomposició.

Afegint al cos de nombres racionals l'arrel quadrada de 2 dóna una extensió de Galois, mentre que afegintr l'arrel cúbica de 2 dóna una extensió que no és Galois. Aquestes dues extensions són separables, perquè tenen característica zero. El primer d'ells és el cos de divisió de $x^{2}-2$; el segon té tancament normal que inclou el complex arrel cúbica d'unitat, i per tant no és un cos de descomposició. De fet, no té cap automorfisme més que la identitat, perquè està contingut en els nombres reals i $x^{3}-2$ només té una arrel real.

Per a exemples més detallats, vegeu el teorema fonamental de la teoria de Galois.

Una cloenda algebraica ${\bar {K}}$ d'un cos arbitrari $K$ és Galois sobre $K$ si i només si $K$ és un cos perfecte.

Bibliografia

• Artin, Emil. Galois Theory (en anglès). Mineola, NY: Dover Publications, 1998 (1944). ISBN 0-486-62342-4. 
• Bewersdorff, Jörg. Galois theory for beginners (en anglès). 35. American Mathematical Society, 2006 (Student Mathematical Library). DOI 10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. 
• Edwards, Harold M. Galois Theory (en anglès). 101. Nova York: Springer-Verlag, 1984 (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 0-387-90980-X. 
• Funkhouser, H. Gray «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations» (en anglès). American Mathematical Monthly, 37(7), 1930. DOI: 10.2307/2299273. JSTOR: 2299273.
• Jacobson, Nathan. Basic Algebra I (en anglès). W.H. Freeman and Company, 1985. ISBN 0-7167-1480-9. 
• Janelidze, G; Borceux, Francis. Galois theories (en anglès). Cambridge University Press, 2001. ISBN 978-0-521-80309-0. 
• Lang, Serge. Algebraic Number Theory (en anglès). 110. Berlin, Nova York: Springer-Verlag, 1994 (Graduate Texts in Mathematics). DOI 10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. 
• Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich. Foundations of Galois Theory (en anglès). Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43518-0. 
• Rotman, Joseph. Galois Theory. Springer, 1998 (Universitext). DOI 10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. 
• Völklein, Helmut. Groups as Galois groups: an introduction (en anglès). 53. Cambridge University Press, 1996 (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). DOI 10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. 
• van der Waerden, Bartel Leendert. Moderne Algebra (en alemany). Berlín: Springer, 1931. 

Enllaços externs

• Pop, Florian. «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF) (en anglès). Penn Arts & Sciencies, 2001.