Hipotrocoide

Una hipotrocoide , a geometria, és la corba plana que descriu un punt vinculat a una circumferència generatriu que roda dins d'una circumferència directriu, tangencialment, sense lliscament.

La paraula es compon de les arrels gregues hipó (ὑπό , «sota») i trokhos (τρόχος, «roda»).

Hipotrocoide (en traç vermell), circumferència directriu (en traç blau), circumferència generatriu (en traç negre). Paràmetres: R = 5, r = 3, d = 5)
L'el·lipse com a cas particular de hipotrocoide. Paràmetres: R = 10, r = 5 = R/2 , d = 1

Aquestes corbes van ser estudiades per Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer el 1674 i Johann Bernoulli el 1725.

Equacions modifica

Sent $q={\dfrac {a}{b}}$ (on $q>1$ ) i $d=kb$ , amb circumferència directriu de radi a , i circumferència generatriu de radi b , i la distància al centre de la generatriu d , l'equació de la hipotrocoide és:

Z=(ab)i^{it}+d'^{-i(q-1)t}\,

on:

QZ=a[(q-1)i^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,

Q(x+Ii)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]

Per identificació de les parts reals i imaginàries s'obté:

Qx=a(q-1)\cos(t)+ca\cos[(q-1)t)];\,

Qy=a(q-1)\sin(t)-ca\sin[(q-1)t)];\,

on:

Q={\dfrac {a}{b}}

i

k={\dfrac {d}{b}}\,

.

Sabent que $a=R$ , $b=r$ i $t=\theta$ , obtenim les equacions següents:^[1]

x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)

y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)

on $θ$ és l'angle format per l'horitzontal i el centre del cercle rodant (no són equacions polars perquè $θ$ no és l'angle polar). Quan es mesura en radians, $θ$ pren valors de 0 a $2\pi \times {\tfrac {\operatorname {MCM} (r,R)}{R}}$ (on $MCM$ és el mínim comú múltiple).

Curiositats modifica

Les el·lipses són casos particulars de hipotrocoide, on $R=2r$ i $d\neq r$ .^[2] L'excentricitat de l'el·lipse és

e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}

esdevenint 1 quan $d=r$ (vegeu parell de Tussí).

Les hipocicloides són casos particulars, on $d=r$ (el punt fix de la generatriu).

La joguina clàssica espirògraf traça les corbes hipotrocoides i epitrocoides.

Els hipotrocoides descriuen el suport dels valors propis d'algunes matrius aleatòries amb correlacions cícliques.^[3]

Referències modifica

↑ Lawrence, J. Dennis. A catalog of special plane curves (en anglès). Dover Publications, 1972, p. 165–168. ISBN 0-486-60288-5.
↑ Gray, Alfred. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (en anglès). CRC Press, 1997, p. 906. ISBN 978-0-849-37164-6.
↑ Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning «Universal hypotrochoidic law for random matrices with cyclic correlations» (en anglès). Physical Review E, 100(1), 16-07-2019, pàg. 010302. arXiv: 1812.07055. Bibcode: 2019PhRvE.100a0302A. DOI: 10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID: 31499759.

Vegeu també modifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Hipotrocoide

Enllaços externs modifica

Hypotrochoid, en Mathworld (en anglès)
Hypotrochoid, en Mathcurve (en francès)

[1] Lawrence, J. Dennis. A catalog of special plane curves (en anglès). Dover Publications, 1972, p. 165–168. ISBN 0-486-60288-5.

[2] Gray, Alfred. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (en anglès). CRC Press, 1997, p. 906. ISBN 978-0-849-37164-6.

[3] Aceituno, Pau Vilimelis; Rogers, Tim; Schomerus, Henning «Universal hypotrochoidic law for random matrices with cyclic correlations» (en anglès). Physical Review E, 100(1), 16-07-2019, pàg. 010302. arXiv: 1812.07055. Bibcode: 2019PhRvE.100a0302A. DOI: 10.1103/PhysRevE.100.010302. PMID: 31499759.

[1]

[2]

[3]