Identitat de Beltrami
La identitat de Beltrami, que porta el nom del matemàtic italià Eugenio Beltrami, és un cas especial de les equacions d'Euler-Lagrange en el càlcul de variacions.
Les equacions d'Euler-Lagrange serveixen per extremar l'acció de les funcions de la forma
on i són constants, i .[1]
Si , llavors les equacions d'Euler-Lagrange es redueixen a la identitat de Beltrami,
Derivació modifica
La següent derivació de la identitat de Beltrami comença amb l'equació d'Euler-Lagrange,
Multiplicant els dos costats per u′,
Segons la regla de la cadena,
on .
Reordenant això es produeixen
Per tant, substituint aquesta expressió per en la segona equació d'aquesta derivació,
Segons la regla del producte, l'últim terme es reexpressa com a
i reordenant,
Per al cas de , això es redueix a
de manera prenen els resultats de l'antiderivada en la identitat de Beltrami,
on C és una constant.[Nota 2]
Aplicacions modifica
Solució al problema de la braquistòcrona modifica
Un exemple d'aplicació de la identitat de Beltrami és el problema de la braquistòcrona, que consisteix a trobar la corba que minimitza la integral
L'integrand
no depèn explícitament de la variable d'integració , de manera que s’aplica la identitat de Beltrami,
Substituint per i simplificant,
que es pot resoldre amb el resultat posat en forma d'equacions paramètriques
amb sent la meitat de la constant anterior, , i essent una variable. Aquestes són les equacions paramètriques per a una cicloide.[Nota 3]
Notes modifica
- ↑ Per tant, la transformada de Legendre del lagrangià, del hamiltonià, és constant al llarg del camí dinàmic.
- ↑ Aquesta derivació de la identitat de Beltrami correspon a la de Weisstein, Eric W. «Beltrami Identity» (en anglès). MathWorld.
- ↑ Aquesta solució del problema de la braquistòcrona correspon a la de Mathews, Jon; Walker, RL. Mathematical Methods of Physics (en anglès). New York: W. A. Benjamin, Inc., 1965, p. 307-309.
Referències modifica
- ↑ Courant, R; Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics (en anglès). I. Nova York: Interscience Publishers, Inc., 1953. ISBN 978-0471504474.
- ↑ Weisstein, Eric W. «Euler-Lagrange Differential Equation» (en anglès). MathWorld.