Integral de la secant al cub

Una de les integrals indefinides més difícils de calcular és

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C.$

Obtenció

Aquesta primitiva es pot calcular emprant la integració per parts, tal com segueix:

$\int \sec ^{3}x\,dx=\int u\,dv$

on

${\begin{aligned}u&{}=\sec x,\\dv&{}=\sec ^{2}x\,dx,\\du&{}=\sec x\tan x\,dx,\\v&{}=\tan x.\end{aligned}}$

Llavors

${\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&{}=\int u\,dv\\&{}=uv-\int v\,du\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec x\tan ^{2}x\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec x\,(\sec ^{2}x-1)\,dx\\&{}=\sec x\tan x-\int \sec ^{3}x\,dx+\int \sec x\,dx.\end{aligned}}$

Sumant $\scriptstyle {}\int \sec ^{3}x\,dx$ als dos cantons de la igualtat:

${\begin{aligned}2\int \sec ^{3}x\,dx&{}=\sec x\tan x+\int \sec x\,dx\\&{}=\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|+C.\end{aligned}}$

Dividint els dos cantons entre 2 s'obté el resultat que s'ha presentat al començament.

Potències de la secant d'exponent senar més gran que 3

Igual que la integració per parts de més amunt ha reduït la integral de la secant al cub a la integral de la secant a la primera potència, d'igual manera un procés similar redueix la integral de la secant elevada a potències senars més grans que 3 a potències més petites. Aquesta és la fórmula de Reducció de la Secant que segueix:

$\int \sec ^{n}{cx}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{cx}\tan {cx}}{c(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ (per }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

Alternativament:

$\int \sec ^{n}{cx}\,dx={\frac {\sec ^{n-1}{cx}\sin {cx}}{c(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{cx}\,dx\qquad {\mbox{ (per }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!$

Vegeu també

• Taula d'integrals