Matriu densitat

La matriu densitat, o operador densitat és una entitat matemàtica introduïda per John von Neumann. Permet resumir en una sola matriu tot el conjunt possible dels estats quàntics d'un sistema físic donat a un instant donat, juntant així la mecànica quàntica i la física estadística.

Definició

Cas pur

La descripció del sistema es fa aquí gràcies a un vector d'estat $|\psi (t)\rangle$ que es pot desenvolupar sobre la base dels $\{|u_{n}\rangle \}$ :

$\left|\psi (t)\right\rangle =\sum _{n}{c_{n}(t)\cdot \left|u_{n}\right\rangle }$

amb $\sum _{n}|c_{n}(t)|^{2}=1\,$

L'operador densitat es defineix per un estat pur per :

${\hat {\rho }}=|\psi (t)\rangle \langle \psi (t)|=\sum _{n,p}c_{n}^{*}(t)c_{p}(t)|u_{p}\rangle \langle u_{n}|$

Evolució amb el temps

L'evolució temporal del vector d'estat es dona per l'equació de Schrödinger depenent del temps :

${\hat {H}}\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over dt}\left|\Psi (t)\right\rangle$

En termes de la matriu densitat, l'equació de Liouville-Von Neumann:

$[{\hat {H}},{\hat {\rho }}]=i\hbar {d \over dt}{\hat {\rho }}$

Relació amb l'entropia

Es pot definir l'entropia de John Von Neumann :

$S=-k_{B}Tr({\hat {\rho }}\ln({\hat {\rho }}))$

on $k_{B}$ és la constant de Boltzmann.

L'entropia d'un estat pur és nul·la, car no hi ha cap incertesa sobre l'estat dle sistema. Es pot trobar també una base on la matriu és diagonal, amb els 0, i un 1 sobre la diagonal, cosa que dona una entropia igual a 0.