Piràmide de Pascal

La piràmide de Pascal és la generalització tridimensional del triangle de Pascal. Conté els coeficients multinomials de tercer ordre (coeficient trinomial), i. H. els coeficients de $(a+b+c)^{n}$ estan al nivell n +1. Com al triangle de Pascal, la piràmide de Pascal comença amb un sol 1 al nivell superior (la "part superior" de la piràmide). Cada número addicional és la suma dels tres números que hi ha a sobre. Totes les propietats especials del triangle de Pascal (vegeu, per exemple, El triangle de B. Sierpinski, simetria) es pot aplicar de manera anàloga a la piràmide de Pascal.

Els cinc primers nivells de la piràmide de Pascal

Construcció alternativa

Els coeficients trinomials són donats per

${\frac {(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!\;}}$ Amb $\;i+j+k=n\,.$

La identitat

${\frac {(i+j+k)!}{i!\,j!\,k!}}={\frac {(i+j+k)!}{(i+j)!\,k!}}\cdot {\frac {(i+j)!}{i!\,j!}}$

suggereix la següent regla de construcció per al nivell (n +1):

• En primer lloc, formeu els tres costats del triangle. Corresponen a la recta (n + 1) del triangle de Pascal.
• Ara empleneu la línia m amb les entrades de la línia m del triangle de Pascal, multiplicat pel factor ja introduït als costats..

Els primers set nivells

1er nivell

1

2n nivell

1 


1 1

3r nivell

1 


2 2


1 2 1

4t nivell

1


3 3 


3 6 3


1 3 3 1

5è nivell

1


4 4


6 12 6


4 12 12 4


1 4 6 4 1

6è nivell

1


5 5


10 20 10


10 30 30 10


5 20 30 20 5


1 5 10 10 5 1

7è nivell

1


6 6


15 30 15


20 60 60 20


15 60 90 60 15


6 30 60 60 30 6


1 6 15 20 15 6 1

Propietats

• La suma de tots els números del nivell n és: $3^{n-1}$
• La suma de tots els números del primer al novè nivell és: ${\frac {3^{n}-1}{2}}$

Connexió amb el tetraedre de Sierpinski

Si el tetraedre de Pascal distingeix entre nombres parells i senars, hi ha una connexió amb el tetraedre de Sierpinski. Els nombres parells corresponen a les llacunes del tetraedre de Sierpinski. Haver de $2^{a}$ Es tenen en compte els nivells $a$ -è pas d'iteració en la construcció del tetraedre de Sierpinski.

Generalització

Es pot fer de manera anàloga $n$ -Definir el Pascal simplex dimensional a partir dels altres coeficients multinomials.

Vegeu també

• Combinatòria
• Teoria de la probabilitat
• Polinomi
• Coeficient binomial

Enllaços externs

• Piramide de Pascal. Departament de Matemàtiques, Universitat Rutgers , Nova Jersey, Estats Units. Octubre de 2010)