De forma intuïtiva, si una variable, y, depèn d'una segona variable, u, i aquesta alhora depèn d'una tercera variable, x, llavors la velocitat de canvi de y respecte de x es pot calcular com la velocitat de canvi de y respecte de umultiplicada per la velocitat de canvi de u respecte de x.
La regla de la cadena d'una variable es pot definir de forma més precisa tal com segueix.[1][2] Sia f una funció real sobre (a,b) que és diferenciable a c ∈ (a,b); i g una funció real definida sobre un interval I que conté el rang de fi f(c) com un punt interior. Si g és derivable a f(c), llavors
Suposant els cas on, hom està pujant a un cim a una velocitat de 0.5 kilòmetres per hora. La temperatura és més baixa a alçades més grans; Suposant que el ritme a què baixa la temperatura és de 6 °C per kilòmetre. Si es multiplica 6 °C per kilòmetre per 0.5 kilòmetres per hora, s'obté 3 °C per hora. Aquest càlcul és una aplicació típica de la regla de la cadena.
Regla de la cadena per a diverses variablesmodifica
La regla de la cadena també funciona per a funcions de més d'una variable. Si les funcions on i , i i són derivables respecte de , llavors
Suposant que cada funció de és una funció de dues variables tal que and , i suposant que totes aquestes funcions siguin derivables. Llavors la regla de la cadena adopta la següent forma:
Si es considera com una funció vectorial, es pot emprar la notació vectorial per a escriure l'equivalent de l'anterior escrivint el producte escalar del gradient de f per la derivada parcial de :
De forma més general, per a funcions vectorials de diverses variables, la regla de la cadena diu que el jacobià de la funció compsició és el producte de les matrius Jacobianes de les dues funcions:
La regla de la cadena és una propietat fonamental de totes les definicions de derivada i per tant és vàlida en contextos molt més generals. Per exemple, si E, F i G són espai de Banach (els quals inclouen l'Espai euclidià) i f : E → F i g : F → G són funcions, i si x és un element de E tal que f is derivable al punt x i g is derivable al punt f(x), llavors la derivada (la derivada de Fréchet) de la funció composta g o f al punt x ve donada per
Fixeu-vos que en aquest cas les derivades són aplicacions lineals. No nombres. Si les aplicacions lineals es representen com a matrius (jacobians), la composició del cantó dret es transforma en una multiplicació de matrius.