Singularitat essencial

En anàlisi complexa, una singularitat essencial d'una funció és una singularitat "severa" al voltant de la qual la funció té un comportament estrany.

Gràfic de la funció exp(1/z), centrat en la singularitat essencial a z=0. El color representa l'argument complex, i la intensitat representa el valor absolut. Aquest gràfic il·lustra que, si hom s'aproxima a la singularitat essencial des de diferents direccions, s'observen diferents comportaments. En canvi, si fos un pol, en aproximar-nos des de qualsevol direcció, el gràfic seria de color blanc uniforme al voltant de la singularitat.

Model que il·lustra una singularitat essencial de la funció complexa 6w = exp(1/(6z))

La categoria singularitat essencial és un grup per defecte d'aquelles singularitats que són especialment difícils de tractar: per definició, no encaixen en cap de les altres dues categories de singularitats que hom pot tractar: les singularitats evitables i els pols.

Definició

Consideri's un subconjunt obert U del pla complex C. Siguin a un element d'U, i f: U \ {a} → C una funció holomorfa. Es diu que el punt a és una singularitat essencial de la funció f si la singularitat no és ni un pol ni una singularitat evitable.

Per exemple, la funció f(z) = e^1/z té una singularitat essencial a z = 0.

Definicions alternatives

Sigui a un nombre complex, i suposem que f(z) no està definida en el punt a però és analítica en alguna regió U del pla complex, i que tot entorn obert d'a té intersecció no buida amb U.

Si tant

$\lim _{z\to a}f(z)$ com $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ existeixen, llavors a és una singularitat evitable tant de f com de 1/f.

Si

$\lim _{z\to a}f(z)$ existeix, però $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ no existeix, llavors a és un zero de f i un pol de 1/f.

Anàlogament, si

$\lim _{z\to a}f(z)$ no existeix, però $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ existeix, llavors a és un pol de f i un zero de 1/f.

Si no existeixen ni

$\lim _{z\to a}f(z)$ ni $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$, llavors a és una singularitat essencial tant de f com de 1/f.

Una altra manera de caracteritzar una singularitat essencial és el fet que la sèrie de Laurent de f al punt a conté un nombre infinit de termes amb grau negatiu (és a dir, la part principal de la sèrie de Laurent és una suma infinita). Una definició relacionada és: si existeix un punt $a$ tal que $f(z)(z-a)^{n}$ no és diferenciable per a cap enter $n>0$, llavors $a$ és una singularitat essencial de $f(z)$.

El comportament de les funcions holomorfes al voltant de les seves singularitats essencials ve descrit pel Teorema de Weierstrass-Casorati i pel Gran Teorema de Picard. Aquest últim estableix que en qualsevol entorn d'una singularitat essencial a, la funció f pren tots els valors complexos, excepte possiblement un, un nombre infinit de cops.

Bibliografia

• Ahlfors, Lars V. Complex Analysis. McGraw-Hill, 1979. ISBN 0070006571. 
• Jain, Rajendra Kumar; Iyengar, S. R. K.. Advanced Engineering Mathematics. Alpha Science International, Limited, 2004, p. 920. ISBN 1-84265-185-4. 

Enllaços externs

• An Essential Singularity de Stephen Wolfram, Wolfram Demonstrations Project.
• Essential Singularity a Planet Math