Sumatori de Riemann
En matemàtiques, un sumatori de Riemann és un mètode per aproximar l'àrea entre el gràfic d'una corba i l'eix x; és a dir una aproximació de la integral. Prenent el límit quan el nombre de termes tendeix a infinit es pot fer servir per a definir l'operació d'integració,
El sumatori de Riemann, rep aquest nom en honor del matemàtic alemany Bernhard Riemann.
Definició modifica
Sia la funció f: D → R, on D és un subconjunt del conjunt dels nombres reals R, i sia I = [a, b] un interval tancat contingut a D. Un conjunt finit de punts {x0, x1, x₂, ... xn} tals que a = x0 < x1 < x₂ ... < xn = b Crea una partició
- P = {[x0, x1), [x1, x₂), ... [xn-1, xn]}
de I.
si P és una partició amb n elements de I, llavors el sumatori de Riemann de f sobre I amb la partició P es defineix com
on xi-1 ≤ yi ≤ xi. La selecció de yi en aquest interval és arbitrària. Si yi = xi-1 per a tot i, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann esquerrà. Si yi = xi, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann dret. Si yi = (xi+xi-1)/2, llavors de S se’n diu un sumatori de Riemann mig. Calculant la mitja dels sumatoris de Rieman dret i esquerre s'obté l'anomenat sumatori trapezoïdal.
Si es té
on vi és el suprem de f sobre [xi-1, xi]; llavors S és per definició un sumatori de Riemann superior. De manera similar, si vi és l'ínfim de f sobre [xi−1, xi], llavors S é un sumatori de Riemann inferior.
Qualsevol sumatori de Riemann en una partició donada (és a dir, per a qualsevol elecció de yi between xi-1 i xi) està entre els sumatoris de Riemann inferior i superior. Una funció és Riemann integrable si els sumatoris de Riemann inferior i superior esdevenen cada cop més propers a mesura que la partició es fa més i més fina. Aquest fet també es pot fer servi en integració numèrica.
Mètodes modifica
Tal com s'ha establert més amunt, hi ha quatre mètodes habituals per a calcular els sumatoris de Riemann: esquerra, dreta, mig i trapezoïdal. Tot seguit s'estudiaran pel cas senzill en el que les particions es construeixen amb intervals de la mateixa mida. Així, si es divideix l'interval [a, b] en n subintervals, cada un tindrà longitud Q = (b − a) / n. Els punts de la partició seran
- a, a + Q, a + 2Q, ..., a + (n−2)Q, a + (n−1)Q, b.
Sumatori de Riemann esquerra modifica
En el sumatori de Riemann esquerra la funció s'aproxima pel valor que té al punt extrem de l'esquerra de l'interval. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent això per i = 0, 1, ..., n−1, i sumant les àrees resultants s'obté
Els sumatori de Riemann esquerra serà una sobre estimació si f és monòtona decreixent a l'interval, i una subestimació si és monòtona creixent.
Sumatori de Rieman dret modifica
Aquí, per a cada interval s'aproximarà f pel valor que té a l'extrem dret. Això dona múltiples rectangles amb base Q i alçada f(a + iQ). Fent-ho per i = 1, 2, ..., n−1, n, i sumant les àrees que en resulten s'obté
El sumatori de Riemann dret serà una sobreestimació di la funció f és monòtona creixent, i una subestimació si és monòtona decreixent.
Sumatori mig modifica
En aquest cas s'agafa com aproximació de f a cada interval e seu valor al punt mitjà. Pel primer interval es té f(a + Q/2), pel següent f(a + 3Q/2), i així fins a arribar a f(b-Q/2). Sumant les àrees, es troba
L'error d'aquesta fórmula serà
on és el valor màxim del valor absolut de a l'interval.
Sumatori trapezoïdal modifica
En aquest cas, els valors de la funció f en un interval s'aproximaran per la mitja aritmètica dels valors que pren la funció als extrems esquerra i dret de l'interval. De forma similar a l'anterior, un simple càlcul emprant la fórmula de l'àrea per un trapezi de cares paral·leles b1, b₂ i alçada h es troba que el sumatori de Riemann és
L'error d'aquesta aproximació per la integral és
on és el valor màxim del valor absolut de
Vegeu també modifica
Enllaços externs modifica