Superfície de Riemann

En matemàtiques i particularment en anàlisi complexa, una superfície de Riemann (anomenada així en honor de Georg Friedrich Bernhard Riemann) és una varietat complexa d'una dimensió. Les superfícies de Riemann es poden imaginar com a "versions deformades" d'un pla complex: localment poden semblar unes 'peces' (o conjunts oberts) del pla complex, però la topologia global pot ser força diferent. Per exemple, poden ser homeomorfes a una esfera, a un torus o a un parell de fulls enganxats.

Superfície de Riemann per a la funció f(z) = sqrt(z)

La qüestió principal sobre les superfícies de Riemann és que es poden definir les funcions holomorfes entre elles. Avui en dia les superfícies de Riemann són considerades el context natural per a estudiar el comportament global d'aquestes funcions, especialment les funcions multívoques com la funció arrel quadrada o el logaritme natural.

Cada superfície de Riemann és una varietat analítica real de dues dimensions, però també té una estructura complexa, necessària per a una definició no ambivalent de les funcions holomorfes. Una varietat real de dues dimensions pot ser transformada en una superfície de Riemann (generalment de moltes maneres no equivalents) si i només si és orientable. Així l'esfera i el torus admeten una estructura complexa, però no la banda de Möbius, l'ampolla de Klein o el pla projectiu.

Els fets geomètrics a propòsit de les superfícies de Riemann són els millors possibles, i forneixen la intuïció i la motivació per a la generalització a altres corbes o varietats. El teorema de Riemann-Roch és un exemple important d'aquesta influència.

Definició formal

Sigui X un espai de Hausdorff. Un homeomorfisme d'un subconjunt obert U⊂X a un subconjunt de C s'anomena carta. Dues cartes f i g de les quals els dominis s'intersequen es diuen compatibles si les aplicacions $f\circ g^{-1}$ i $g\circ f^{-1}$ són holomorfes sobre els seus dominis. Si A és una col·lecció de cartes compatibles e cada $x\in X$ és en el domini d'una f de A, llavors es diu que A és un atles. El parell (X, A) s'anomena també superfície de Riemann.

Diversos atles poden generar la mateixa estructura de superfície de Riemann sobre X. Per a evitar aquesta ambivalència, es demana que l'atlas sigui 'maximal', és a dir, que no sigui contingut en cap altre atles. Cada atles A és contingut en un únic atles maximal gràcies al Lema de Zorn.

Exemples

• El pla complex amb l'aplicació identitat f(z) = z.
• Anàlogament cada subconjunt obert del pla complex o d'una superfície de Riemann.
• Sigui S = C ∪ {∞} i f(z) = z si z ∈ S \ {∞}, g(z) = 1 / z si z ∈ S \ {0}, i 1/∞ és definit 0. Llavors f i g són cartes compatibles i { f, g } és un atles per a S, així doncs S és una superfície de Riemann. Aquesta superfície s'anomena esfera de Riemann i pot ser interpretada com l'embolcall del pla al voltant de l'esfera. Al contrari del pla, es tracta d'un espai compacte.

• La teoria de les superfícies compactes de Riemann pot ser considerada com a equivalent a la teoria de les corbes algebraiques sobre el pla complex i no singular.

• Uns exemples de superfícies de Riemann no compactes s'originen mitjançant continuació analítica maximal.

Propietats

Una funció f : M → N entre dues superfícies de Riemann s'anomena holomorfa si per a cada carta g en l'atles de M i per a cada carta h en l'atles de N l'aplicació $h\circ f\circ g^{-1}$ és holomorfa on és definida. La composició de dues funcions holomorfes és holomorfa. Les dues superfícies de Riemann M i N s'anomenen conformement equivalents si existeix una aplicació holomorfa bijectiva de M a N (aquest fet implica que la inversa és també holomorfa). Dues superfícies de Riemann conformement equivalents són de fet la mateixa superfície.

Cada superfície de Riemann simplement connexa és conformement equivalent a una de les superfícies a continuació:

• C, el pla complex
• C ∪ {∞} l'esfera de Riemann
• {z ∈ C : |z| < 1} el disc unitat obert.

Aquest enunciat és conegut com el Teorema d'uniformització de Riemann.

Cada superfície de Riemann connexa pot ser transformada en una varietat Riemanniana real a 2 dimensions amb curvatura constant

• -1 : es diu una superfície hiperbòlica
• 0 : es diu una superfície parabòlica
• +1: es diu una superfície el·líptica.

L'estructura Riemanniana és única a menys de multiplicació per una constant real.

Exemples de superfícies hiperbòliques

• El disc unitat obert amb la mètrica de Poincaré
• Cada superfície de gènere g>1.

Exemples de superfícies parabòliques

• C
• El torus de 2 dimensions reals

Exemples de superfícies el·líptiques

• L'esfera de Riemann

Modelització

• Cada superfície de Riemann parabòlica tancada té el grup fonamental isomòrfic al grup reticle de rang 2, per tant la superfície pot ser construïda com a C/Γ, on Γ és el grup reticle. Els conjunts representatius de les classes d'equivalència s'anomenen dominis fonamentals.

• Per a tota superfície de Riemann hiperbòlica el grup fonamental és isomòrfic a un grup fuchsià, per tant la superfície pot ser construïda com a H/Γ, on Γ és el grup fuchsià i H el semiplà superior.

Els conjunts representatius de les classes d'equivalència s'anomenen conjunts regulars lliures i poden ser modelats en polígons fonamentals mètrics.

• Quan una superfície de Riemann hiperbòlica és compacta, l'àrea total de la superfície és $4\pi (g-1)$, on g és el gènere; l'àrea és obtinguda aplicant el teorema de Gauss-Bonnet a l'àrea del polígon fonamental.

Orientabilitat

Totes les superfícies de Riemann, així com ara les varietats complexes, són orientables com a varietats reals. La raó és que, per a cartes complexes f i g, amb funció de transició h = f(g^-1(z)), es pot considerar h com una aplicació entre subconjunts de R²: en aquest cas, el determinant Jacobià a un punt z és la multiplicació per a h'(z). De tota manera, el determinant real d'una multiplicació per a un nombre complex α és igual a |α|^2, així doncs és positiu, i l'atles complex és orientat.

Funcions

Cada superfície de Riemann no compacta admet funcions holomorfes no constants (a valors en $\mathbb {C}$). De fet, cada superfície de Riemann no compacta és una varietat de Stein.

Al contrari, sobre una superfície de Riemann compacta, totes les funcions holomorfes a valors en $\mathbb {C}$ són constants gràcies al principi del màxim. Però existeixen funcions meromorfes (és a dir, funcions holomorfes a valors en l'esfera de Riemann) no constants.

A l'art i la literatura

• Una de les obres de M.C. Escher, Print Gallery, consisteix en una mena de graella o quadrícula que creix cíclicament i que ha estat descrita com una superfície de Riemann.
• A la novel·la d'Aldous Huxley Un món feliç, el tenis a la superfície de Riemann és un joc popular.

Vegeu també

• Geometria algebraica
• Geometria confurme
• Varietat de Kähler
• Espai de Teichmüller
• Esfera de Riemann
• Teoremes sobre les superfícies de Riemann
  • Teorema de Riemann-Roch
  • Fórmula de Riemann-Hurwitz
  • Teorema de l'aplicació da Riemann
  • Teorema d'uniformització de Riemann
  • Teorema dels automorfismes de Hurwitz

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Superfície de Riemann

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
• Jürgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
• Riemann Surface a PlanetMath